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Forum "Differenzialrechnung" - Tangentensteigung
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Tangentensteigung: Hilfe und Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Di 29.04.2008
Autor: Himbeere145

Aufgabe
Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f in dem angegebenen Punkt. Gib auch die Gleichung der Tangente in der Form y=mx+b an.

f(x)=2xhoch3    

P(2;y)

Ich bin mir nicht sicher, aber kann man nicht ganz am Anfang díe allgemeine Tangentensteigung von der Funktion [mm] f(x)=2x^{3} [/mm]

In der Schule haben wir es gelernt mit der Steigungsformel:

[mm] m=y_{2}-y_{1} [/mm]  /  [mm] x_{2}-x_{1} [/mm]


m(sekante)= [mm] 2*(x+h)^3-2*x^3 [/mm]  /  x+h-x

= [mm] 2*(x+h)^2*(x+h)-2*x^3 [/mm]  /  x+h-x

[mm] =2*(x^2+2xh+h^2)(x+h)-2*x^3 [/mm]  /  x+h-x

[mm] =2*(x^3+x^2h+2x^2h+2xh^2+h^2x+h^3)-2*x^3 [/mm]  /  x+h-x

[mm] =6x^2h+6xh^2+2h^3 [/mm]  /  x+h-x

[mm] =h(6x^2+6xh+2h^2) [/mm]  /  h

limes
h->0 = [mm] 6x^2 [/mm] (weil h ja weg fällt)

Nun das wäre dann die allgemeine Steigung der Tangente. Muss ich jetzt um die Steigung an den Punkt (2;y) zu berechnen nur die 2 in die allgemeine Tangentensteigung einsetzten?

Also: m (tangente) = [mm] 6x^2 [/mm]

= 24???

Oder muss ich die allgemeine Tangentensteigung gar nicht aufstellen???
        
Bezug
Tangentensteigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Di 29.04.2008
Autor: Andi

Hallo Himbeere,

> Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen der
> Funktion f in dem angegebenen Punkt. Gib auch die Gleichung
> der Tangente in der Form y=mx+b an.
>  
> f(x)=2xhoch3    
>
> P(2;y)
>  Ich bin mir nicht sicher, aber kann man nicht ganz am
> Anfang díe allgemeine Tangentensteigung von der Funktion
> [mm]f(x)=2x^{3}[/mm]
>  
> In der Schule haben wir es gelernt mit der
> Steigungsformel:
>  
> [mm]m=y_{2}-y_{1}[/mm]  /  [mm]x_{2}-x_{1}[/mm]
>  
>
> m(sekante)= [mm]2*(x+h)^3-2*x^3[/mm]  /  x+h-x
>  
> = [mm]2*(x+h)^2*(x+h)-2*x^3[/mm]  /  x+h-x
>  
> [mm]=2*(x^2+2xh+h^2)(x+h)-2*x^3[/mm]  /  x+h-x
>  
> [mm]=2*(x^3+x^2h+2x^2h+2xh^2+h^2x+h^3)-2*x^3[/mm]  /  x+h-x
>  
> [mm]=6x^2h+6xh^2+2h^3[/mm]  /  x+h-x
>  
> [mm]=h(6x^2+6xh+2h^2)[/mm]  /  h
>  
> limes
>  h->0 = [mm]6x^2[/mm] (weil h ja weg fällt)

[ok] [ok] super! also mathematisch gibt es nichts zu bemängeln ....
wenn auch die Verwendung des Formeleditors die Lesbarkeit stark
verbessert hätte ;-)

> Nun das wäre dann die allgemeine Steigung der Tangente.
> Muss ich jetzt um die Steigung an den Punkt (2;y) zu
> berechnen nur die 2 in die allgemeine Tangentensteigung
> einsetzten?
>  
> Also: m (tangente) = [mm]6x^2[/mm]
>  
> = 24???

[ok]

> Oder muss ich die allgemeine Tangentensteigung gar nicht
> aufstellen???

Das frage ich mich auch :-)

Also bei so einem Aufgabentyp würde ich denken, dass ihr
folgende Formel schon gelernt habt:

Wenn f eine Potenzfunktion ist
[mm]f(x)=c*x^n[/mm]
wobei c eine beliebige Konstante

Dann ist die Ableitung von f
[mm]f'(x)=n*c*x^{n-1}[/mm]

Diese Regel ist ziemlich wichtig .... und hätte dir das Leben auch viel leichter gemacht

so nun aber zurrück zur Aufgabe, du musst ja schließlich noch die
Funktionsgleichung der Tangente aufstellen....
Schaffst du das?

Viele Grüße,
Andi
Bezug
                
Bezug
Tangentensteigung: Tangentengleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Di 29.04.2008
Autor: Himbeere145

Aufgabe
Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen der
> Funktion f in dem angegebenen Punkt. Gib auch die Gleichung
> der Tangente in der Form y=mx+b an.
>  
> f(x)=2xhoch3    
>
> P(2;y)


Wie stellt man die Gleichung denn auf?
Bezug
                        
Bezug
Tangentensteigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Di 29.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Himbeere145,

> Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen der
> > Funktion f in dem angegebenen Punkt. Gib auch die Gleichung
> > der Tangente in der Form y=mx+b an.
> >  

> > f(x)=2xhoch3    
> >
> > P(2;y)
>
> Wie stellt man die Gleichung denn auf?

Verwende hierzu die Punkt-Steigungsform einer Geraden.

Gruß
MathePower
Bezug
                        
Bezug
Tangentensteigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Di 29.04.2008
Autor: Tyskie84

Hallo

Nur noch ein kleiner Tipp am Rande vielleicht weisst du das auch selber aber egal, Du hast in der Aufgabenstellung den Punkt P(2|y) angegeben. Wie MathePower schon sagte kann man die Gleichung mit Hilfe der Punkt-Steigungsform aufstellen nur musst du deine y-Koordinate kennen. Wie du sie erchnetst ist eigentlich ganz einfach. Setzte die x Koordinate also die 2 in deine Ausgangsfunktion [mm] f(x)=2x^{3} [/mm] ein.

[hut] Gruß
Bezug
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