Tangentengleichung bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Wie ist die 1. Ableitung einer Funktion f an der Stelle a definiert?
b) Berechne mit Hilfe der Definition die 1. Ableitung von f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x an der Stelle a = -2
c) Bestimme die Gleichung der Tangente, die an den Graphen der in b) angegebenen Funktion f B (-2 / f (-2)) gelegt wird. |
Hallo zusammen, ich mal wieder.
die obige Aufgabe ist einer dieser Art, die morgen in meiner Mathe-Klausur wohl mit sehr großer Wahrscheinlichkeit drankommen werden.
Das einzige, was mir klar ist, ist wie ich b berechne. Könnte mir einer von euch vielleicht bei a und c helfen, wo mir noch nicht einmal klar ist, was von mir gewollt wird? Lösungsansätze, oder so?
Ich poste b aber trotzdem nochmal, vielleicht mag ja einer schaun ob ich richtig liege.
f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x
________________
f(-2) = [mm] (-2)^2 [/mm] - 2 * (-2) = 8
f (-2+h) = [mm] (-2+h)^2 [/mm] - 2 * (-2+h) = 4 - [mm] 4h^2 [/mm] + [mm] h^2 [/mm] + 4 - 2h = [mm] 5h^2 [/mm] - 2h + 8
f(-2+h) - f (-2) = [mm] 5h^2 [/mm] - 2h + 8 + 8 = [mm] 5h^2 [/mm] - 2h + 16
[mm] \bruch{f(-2+h) - f(-2)}{h} [/mm] = 5h - 2 + 16
f(-2) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(-2+h) - f(-2)}{h} [/mm] = 14
Ist das richtig so??
Lieben Gruß
Sarah
Edit: also irgendwie haut das mit der Darstellung nicht so ganz hin ... im letzten Schritt wollte ich h gegen 0 streben lassen.
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> a) Wie ist die 1. Ableitung einer Funktion f an der Stelle
> a definiert?
Hier ist wahrscheinlich die Limes-Formel für die Ableitung
gemeint, die du ja in b) anwendest:
[mm] f'(a) =\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm]
> b) Berechne mit Hilfe der Definition die 1. Ableitung von
> f(x) = [mm]x^2[/mm] - 2x an der Stelle a = -2
>
> c) Bestimme die Gleichung der Tangente, die an den Graphen
> der in b) angegebenen Funktion f B (-2 / f (-2)) gelegt
> wird.
> Hallo zusammen, ich mal wieder.
>
> die obige Aufgabe ist einer dieser Art, die morgen in
> meiner Mathe-Klausur wohl mit sehr großer
> Wahrscheinlichkeit drankommen werden.
>
> Das einzige, was mir klar ist, ist wie ich b berechne.
> Könnte mir einer von euch vielleicht bei a und c helfen, wo
> mir noch nicht einmal klar ist, was von mir gewollt wird?
> Lösungsansätze, oder so?
>
> Ich poste b aber trotzdem nochmal, vielleicht mag ja einer
> schaun ob ich richtig liege.
>
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] - 2x
> ________________
>
> f(-2) = [mm](-2)^2[/mm] - 2 * (-2) = 8 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f (-2+h) = [mm](-2+h)^2[/mm] - 2 * (-2+h) = 4 - [mm]4h^2[/mm] + [mm]h^2[/mm] + 4 - 2h ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> = [mm]5h^2[/mm] - 2h + 8
ich erhalte [mm]f(-2+h)= h^2-6h+8 [/mm]
> f(-2+h) - f (-2) = [mm]5h^2[/mm] - 2h + 8 + 8 = [mm]5h^2[/mm] - 2h + 16
>
> [mm]\bruch{f(-2+h) - f(-2)}{h}[/mm] = 5h - 2 + 16
>
> f(-2) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(-2+h) - f(-2)}{h}[/mm]
> = 14
hier meinst du nicht f(-2), sondern f'(-2) !
> Ist das richtig so??
das Ergebnis ist wegen des obigen Fehlers nicht richtig
richtig wäre: f'(-2) = -6
Zu Aufgabe c:
Jetzt soll die Tangentengleichung mit den vorher berechneten
Daten bestimmt werden.
Wir wissen:
1.) die Tangente geht durch den Kurvenpunkt B(-2/8)
2.) die Tangente hat die Steigung m = -6 = f'(-2)
Jetzt kannst du die Punkt-Steigungs-Formel für
die Geradengleichung verwenden, etwa in der Form:
[mm]y - y_B = m*(x-x_B)[/mm]
und jetzt hier [mm] x_B=-2 [/mm] , [mm] y_B [/mm] = 8 sowie m = -6 einsetzen.
Am Schluss die Gleichung auf die gewünschte Form
bringen, also etwa
y = -6 x -4 oder 6 x + y + 4 = 0
Lieben Gruß
Al-Chwarizmi
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Ok, vielen Dank erstmal. Also dass es f'(-2) heißen muss, hab ich verstanden. Mein Fehler, hab ich übersehen.
Was ich jetzt noch nicht so ganz verstehe, wie du auf f'(-2) = -6 kommst ... kannst du mir das mal genauer erläutern?
Danke,
Sarah
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hallo Sarah
> Ok, vielen Dank erstmal. Also dass es f'(-2) heißen muss,
> hab ich verstanden. Mein Fehler, hab ich übersehen.
>
> Was ich jetzt noch nicht so ganz verstehe, wie du auf
> f'(-2) = -6 kommst ... kannst du mir das mal genauer
> erläutern?
>
Du hattest f(-2) = 8
f(-2+h) [mm] =(-2+h)^2 [/mm] -2*(-2+h) = [mm] 4-4h+h^2+4-2h [/mm] = [mm] 8-6h+h^2 [/mm] (*** siehe unten)
[mm] \bruch{f(-2+h)-f(-2)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{-6h+h^2}{h} [/mm] = -6+h
f'(-2) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(-2+h)-f(-2)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(-6+h) [/mm] = -6
Tschüss und gute Nacht !
al-Chwarizmi
(***) in dieser Zeile war vorher etwas mir unerklärlich verstümmelt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Di 27.05.2008 | | Autor: | konvex |
in deinem vorletzten schritt hast du vergessen [mm] \bruch{16}{h} [/mm] zu teilen, kann das , aber mit h im nenner musste das dann noch umschrieben damit du dann h gegen 0 gehen lassen kannst weil du ja nich durch 0 teilen darfst
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Wie schreibe ich dass denn am besten um?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 27.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Siehe oben! Wenn Du den Term $f(-2+h)_$ richtig berechnest und in den Differenzenquotienten einsetzt, sollte sich das $h_$ kürzen lassen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 27.05.2008 | | Autor: | konvex |
$ f'(x) [mm] =\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] $
> b) Berechne mit Hilfe der Definition die 1. Ableitung von
> f(x) = $ [mm] x^2 [/mm] $ - 2x an der Stelle x = -2
also ich hab da mal drübergeschaut und ich hab
f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x
f(-2) = [mm] (-2)^2 [/mm] - 2 * (-2) = 8
f (-2+h) = [mm] h^2-6h+8 [/mm]
dann hast du doch eingesetzt
[mm] \bruch{f(-2+h) - f(-2)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{h^2 - 6h + 8 - 8}{h} [/mm] = h - 6
wenn du jetzt den limes nimmst und h gegen 0 geht dann ist also f'(x)= -6.
Wenn du das mit den ableitungsregeln(als probe) machst kommst du auf das gleiche ergebnis, also müsste das richtig sein weil da hast du ja:
f'(x)= 2x-2 an derstelle x=-2 ist die ableitung -6.
Gruß
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