Tangentenberechnung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=0.2x^4-1.8x^2
[/mm]
Gesucht werden die beiden Tangenten, die durch den Hochpunkt von f gehen und den Funktionsgraphen jeweils 1x kurz vor den Tiefpunkten berühren. |
Ich habe zuerst die Extrempunkte berechnet,
also [mm] f'(x)=0=0.8x^3-3.6x
[/mm]
ergab [mm] x_1=0 \wedge x_2=\bruch{-3\wurzel{2}}{2} \wedge x_3=\bruch{3\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=2.4x^2-3.6 [/mm] war für den x-wert 0 < 0 , also war dort der Hochpunkt. Für die anderen beiden war f''(x)>0. Dort waren also die beiden Tiefpunkte.
Jetzt sollte ich die beiden Tangenten suchen und weiß nun nicht weiter ...
Das einzige, was ich weiß ist, dass sie durch den HP [0;0] gehen und jeweils den Funktionsgraphen 1x berühren, wobei die Steigung 1x m und 1x -m, die x-werte bis auf das Vorzeichen gleich und die y-Werte gleich sind.
Ich bitte um einen Tipp !
Schorsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Schachschorsch56,
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=0.2x^4-1.8x^2[/mm]
>
> Gesucht werden die beiden Tangenten, die durch den
> Hochpunkt von f gehen und den Funktionsgraphen jeweils 1x
> kurz vor den Tiefpunkten berühren.
> Ich habe zuerst die Extrempunkte berechnet,
> also [mm]f'(x)=0=0.8x^3-3.6x[/mm]
> ergab [mm]x_1=0 \wedge x_2=\bruch{-3\wurzel{2}}{2} \wedge x_3=\bruch{3\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=2.4x^2-3.6[/mm] war für den x-wert 0 < 0 , also war dort
> der Hochpunkt. Für die anderen beiden war f''(x)>0. Dort
> waren also die beiden Tiefpunkte.
>
> Jetzt sollte ich die beiden Tangenten suchen und weiß nun
> nicht weiter ...
>
> Das einzige, was ich weiß ist, dass sie durch den HP [0;0]
> gehen und jeweils den Funktionsgraphen 1x berühren, wobei
> die Steigung 1x m und 1x -m, die x-werte bis auf das
> Vorzeichen gleich und die y-Werte gleich sind.
>
> Ich bitte um einen Tipp !
Wir wissen also, daß die Tangente eine Ursprungsgerade ist.
Es geht jetzt um die Bestimmung des Berührpunktes.
Daher ist folgende Gleichung zu lösen:
[mm]f\left(x_{B}\right)=x_{B}*f'\left(x_{B}\right)[/mm]
, wobei [mm]x_{B}[/mm] der Berührpunkt ist.
>
> Schorsch
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich begreife das heute einfach nicht und mache morgen weiter...
[mm] f'(x)=x^3-3x [/mm] = [mm] x(x^2-3) [/mm] ich komme dennoch nicht auf [mm] x_B...
[/mm]
Schorsch
|
|
|
| |
|
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=0.2x^4-1.8x^2
[/mm]
Gesucht werden die beiden Tangenten, die durch den Hochpunkt von f gehen und den Funktionsgraphen jeweils 1x kurz vor den Tiefpunkten berühren. |
Ich habe zuerst die Extrempunkte berechnet,
also [mm] f'(x)=0=0.8x^3-3.6x
[/mm]
ergab [mm] x_1=0 \wedge x_2=\bruch{-3\wurzel{2}}{2} \wedge x_3=\bruch{3\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=2.4x^2-3.6 [/mm] war für den x-wert 0 < 0 , also war dort der Hochpunkt. Für die anderen beiden war f''(x)>0. Dort waren also die beiden Tiefpunkte.
Jetzt sollte ich die beiden Tangenten suchen und weiß nun nicht weiter ...
Das einzige, was ich weiß ist, dass sie durch den HP [0;0] gehen und jeweils den Funktionsgraphen 1x berühren, wobei die Steigung 1x m und 1x -m, die x-werte bis auf das Vorzeichen gleich und die y-Werte gleich sind.
Ich bitte um einen Tipp !
Schorsch
|
Leider hat mich der Tipp nicht weitergebracht...
Ich versuchte es nun mit der Wendetangente. In der Hoffnung, dass es die gesuchte Tangente ist:
Als Wendepunkte erhielt ich [mm] WP_1 [-\bruch{\wurzel{6}}{2}; -\bruch{9}{4}] [/mm] und [mm] WP_2 [\bruch{\wurzel{6}}{2}; -\bruch{9}{4}]
[/mm]
Die Wendetangente hat die Form
[mm] t_{WP}(x_{WP})=f'(x_{WP})x+n
[/mm]
[mm] n=\bruch{27}{20} [/mm] und die Tangentengleichung heißt:
[mm] t_{WP}=\bruch{6\wurzel{6}}{5}x+\bruch{27}{20}
[/mm]
Die Tangente geht natürlich nicht (wie gefordert) durch den Hochpunkt [0;0], sonst muesste ja n=0 sein.
Wie finde ich nun die Tangente mit dem Berührpunkt [mm] [x_B [/mm] ; [mm] f(x_B)] [/mm] ?
Schorsch
|
|
|
| |
|
Hallo Schachschorsch,
das hat Mathepower doch schon beantwortet.
> Wir wissen also, daß die Tangente eine Ursprungsgerade ist.
> Es geht jetzt um die Bestimmung des Berührpunktes.
> Daher ist folgende Gleichung zu lösen:
$ [mm] f\left(x_{B}\right)=x_{B}\cdot{}f'\left(x_{B}\right) [/mm] $
> , wobei $ [mm] x_{B} [/mm] $ der Berührpunkt ist.
Nimm doch mal diesen Ansatz und rechne los.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Benutze die Gleichung [mm] f(x_B)=x_B*f'(x_B) [/mm] und rechne den Berührpunkt der durch den Ursprung gehenden Tangente an [mm] f(x)=0.2x^4-1.8x^2 [/mm] aus. |
Ich komme einfach nicht weiter !
Ich setzte [mm] f'(x)=0.8x^3-3.6x [/mm] in die Gleichung ein und erhielt:
[mm] f(x_B)=x_B [/mm] * [mm] (0.8(x_B)^3 [/mm] - [mm] 3.6(x_B))
[/mm]
und nun ?
Schorsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Du musst auch für $f(x)_$ den entsprechenden Funktionsterm mit [mm] $f(x_B) [/mm] \ = \ [mm] 0.2*x_B^4-1.8*x_B^2$ [/mm] einsetzen.
Damit hast Du dann eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten: [mm] $x_B$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Danke Loddar !
Nun kam ich (endlich) weiter:
Ich muste also folgende Gleichungen benutzen:
[mm] f(x_B)=x_B*f'(x_B)=x_B*(0.8x_B^3-3.6x_B)=0.8x_B^4-3.6x_B^2
[/mm]
und
[mm] f(x_B)=0.2x_B^4-1.8x^2
[/mm]
dann nur noch gleichsetzen...
[mm] 0.2^x_B^4-1.8x_B^2=0.8x_B^4-3.6x_B^2 [/mm] ergibt
[mm] 0.6x_B^4-1.8x_B^2=0 [/mm] | : 0.6
[mm] x_B^4-3x_B^2=0 [/mm] | [mm] x_B^2 [/mm] ausklammern
[mm] x_B^2(x_B^2-3)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{B1}=0 \wedge x_{B2}=-\wurzel{3} \wedge x_{B3}=\wurzel{3}
[/mm]
Um die Tangente durch [mm] x_{B2} [/mm] zu bestimmen, setzte ich [mm] x_{B2} [/mm] in die 1.Ableitung von f ein und erhielt die Tangentensteigung m:
[mm] f'(x_{B2}=0.8x_{B2}^3-3.6x_{B2}=0.8(\wurzel{3})^3-3.6(-\wurzel{3}
[/mm]
[mm] =0.8*3*(-\wurzel{3})+3.6*[-\wurzel{3}) =-2.4\wurzel{3}+3.6\wurzel{3}
[/mm]
[mm] =1.2\wurzel{3} [/mm] oder [mm] \bruch{6}{5}\wurzel{3}
[/mm]
Die gesuchte Tangentenfunktion lautet dann:
t(x)= [mm] \bruch{6}{5}\wurzel{3}x
[/mm]
Die Tangente geht natürlich durch den Hochpunkt von f (=Ursprung).
Die Gleichung der 2.Tangente kann man dann auch sofort erkennen, da die Steigung gleich - [mm] \bruch{6}{5}\wurzel{3} [/mm] sein muss.
Danke für Eure Hilfe.
Schorsch
|
|
|
|
