Tangente paralell zur Geraden. < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
| Aufgabe | In welchen Punkten ist die Tangente an das Schaubild der Funktion f paralell zu der Geraden [mm] g:y=\bruch{1}{2}x [/mm] - 4?
[mm] f(x)=\bruch{-9}{2x} [/mm] |
Ich habe das nun mit dem Gleichsetzungsverfahren versucht, weil ich dachte, dass man ja irgendwo auf einen "nenner" kommen muss...
x1(9/0) und x2(1/0) raus... Das sind ja dann die beiden Schnittstellen, oder? .. aber wenn das doch paralell sein soll, dann kann es doch keine Schnittstellen haben?
Dennoch habe ich die abc-Formel (pq-Formel) angebracht und da kam dann
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{9}{2}
[/mm]
Doch das stimmt irgendwie nicht.. Ich kapiere den Weg bis dahin nicht. Hätte ich erst die 1 . Ableitung nehmen sollen???
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Disap |
Hallo Kiuko.
> In welchen Punkten ist die Tangente an das Schaubild der
> Funktion f paralell zu der Geraden [mm]g:y=\bruch{1}{2}x[/mm] - 4?
>
> [mm]f(x)=\bruch{-9}{2x}[/mm]
> Ich habe das nun mit dem Gleichsetzungsverfahren versucht,
> weil ich dachte, dass man ja irgendwo auf einen "nenner"
> kommen muss...
Wenn du f(x) = g(x) setzt, bekommst du den Schnittpunkt der Funktion heraus. Das ist in der Aufgabe aber leider nicht gefragt.
>
> x1(9/0) und x2(1/0) raus... Das sind ja dann die beiden
> Schnittstellen, oder? .. aber wenn das doch paralell sein
Was sind das hier denn für Lösungen? Das sind weder die Schnittpunkte, noch die Lösung für die Aufgabe, die Lösung für die parallele Tangente (ohne Gewähr) ist an der Stelle x=3 sowie x=-3
> soll, dann kann es doch keine Schnittstellen haben?
Doch, die Funktion f(x) kann g(x) bzw. g:y schon schneiden. Du sollst folgende Situation untersuchen. An f(x) kannst du eine Tangente legen (eine Gerade, die f(x) lediglich "tangiert" - also die selbe Steigung hat. Diese Tangente soll ferner parallel zur Geraden g sein. Parallel heißt, die Tangente hat dieselbe Steigung wie g(x). Also reden wir über die Steigung von 0.5!
> Dennoch habe ich die abc-Formel (pq-Formel) angebracht und
> da kam dann
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]-\bruch{9}{2}[/mm]
>
> Doch das stimmt irgendwie nicht.. Ich kapiere den Weg bis
> dahin nicht. Hätte ich erst die 1 . Ableitung nehmen
> sollen???
Da es um die Steigung geht, musst du f(x) erst einmal ableiten. Und dann herausfinden, wo f(x) dieselbe Steigung wie g(x) hat, also gilt
f'(x) = 0.5
Meiner Rechnung nach ist die Lösung da eben [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-3.
[/mm]
MfG!
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
Ok, die erste Ableitung von f(x)...
doch da wir ja [mm] -\bruch{9}{2x} [/mm] haben kann ich das doch schlecht ableiten..
Denn ich habe das so gelernt:
f[x]=ax³+bx³-fx²+sx
f`[x]=3ax²+3bx²2fx
Richtig? Doch wie soll es denn bei [mm] -\bruch{9}{2x} [/mm] denn aussehen? Irgendwie hänge ich da... :-/
Und dein Ergebniss stimmt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Disap |
> Ok, die erste Ableitung von f(x)...
> doch da wir ja [mm]-\bruch{9}{2x}[/mm] haben kann ich das doch
> schlecht ableiten..
> Denn ich habe das so gelernt:
>
> f[x]=ax³+bx³-fx²+sx
> f'[x]=3ax²+3bx²2fx
>
> Richtig? Doch wie soll es denn bei [mm]-\bruch{9}{2x}[/mm] denn
> aussehen? Irgendwie hänge ich da... :-/
Es gibt für solche Fälle eine spezielle Formel, die nennt sich Quotientenregel. Die sind dann später wichtig, weil es noch andere Funktionen gibt, wie z. B. z(x) = [mm] \frac{1}{x^2+3x+3}, [/mm] die man jetzt nicht so ohne weiteres ableiten kann. Bei dieser Aufgabe kann man sich allerdings den Potenzgesetzen bedienen.
Allgemein gilt
[mm] $\frac{1}{a} [/mm] = [mm] a^{-1}$.
[/mm]
Speziell in unserem Fall
[mm] $-\frac{9}{2x} [/mm] = [mm] \frac{9}{2}*x^{-1}$
[/mm]
Dass kannst du jetzt wie gewohnt ableiten
[mm] $[x^{-1}]' [/mm] = -1 * [mm] x^{-1-1} [/mm] = - [mm] x^{-2}$
[/mm]
Das [mm] x^{-2} [/mm] kannst du auch wieder als Bruch schreiben. Und vergiss den Vorfaktor die 9/2 nicht. Und Vorsicht: es galt ja MINUS 9/2. Minus mal Minus ist Plus.
Kannst du mir da folgen oder war das jetzt so schlecht aufgeschrieben?
>
> Und dein Ergebniss stimmt
Hach, das beruhigt mich aber :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
Also ich habe das so gemacht:
[mm] -\bruch{9}{2x}
[/mm]
[mm] -\bruch{9}{2}x^{-2}
[/mm]
[mm] \bruch{18}{2}x
[/mm]
= 9x
... aber kann das stimmen? :-/
|
|
|
| |
|
> Also ich habe das so gemacht:
> [mm]-\bruch{9}{2x}[/mm]
> [mm]-\bruch{9}{2}x^{-2}[/mm]
> [mm]\bruch{18}{2}x[/mm]
> = 9x
>
> ... aber kann das stimmen? :-/
>
Hallo Kiuko,
leider nicht - halte dich an Disaps Rat:
[mm] \left(-\bruch{9}{2x}\right)'=\left(-\bruch{9}{2}\cdot{}x^{-1}\right)'=-\bruch{9}{2}\cdot{}(-1)\cdot{}x^{-2}=\bruch{9}{2}\cdot{}x^{-2}=\bruch{9}{2}\cdot{}\bruch{1}{x^2}=\bruch{9}{2x^2}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 18.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
gut, nach längerem rechnen habe ich da snun auch raus..
aber wie geht es denn weiter?
Was muss ich denn noch rechnen, um dann die paralell zu stellen?Denn das stand da ja....
ich kann mir auch nicht helfen, ich will immer nur gleichsetzen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 18.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{9}{2x²} [/mm] gibt dir ja die Steigung der Funktion an der Stelle x an. (Die Ableitung könnte man auch als "Steigungsfunktion" bezeichnen).
Jetzt weisst du, dass die Tangente parallel zu [mm] y=\bruch{1}{2}x-4 [/mm] sein soll. Diese Gerade hat ja die Steigung [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Also suchst du den Punkt (x/f(x)), so dass gilt:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{9}{2x²}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm3
[/mm]
Jetzt hast du die Punkte
[mm] P_{1}(3/f(3))=(3/\bruch{-9}{2*3})=(3/-\bruch{3}{2})
[/mm]
und [mm] P_{2}(-3/f(-3))=(-3/\bruch{3}{2})
[/mm]
Jetzt weisst du, das die Tangenten
[mm] t_{1}(x)=mx+b [/mm] und [mm] t_{2}=mx+b [/mm] jeweils die Steigung [mm] \bruch{1}{2} [/mm] haben.
Bleibt also nur noch das jeweilige b zu bestimmen.
Jetzt weisst, du, dass [mm] P_{1}\in t_{1}.
[/mm]
Also:
[mm] t_{1}(x)=\bruch{1}{2}x+b
[/mm]
und jetzt setzt du [mm] P_{1} [/mm] ein:
[mm] -\bruch{3}{2}=\bruch{1}{2}*3+b
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] b=3
Also ist [mm] t_{1}(x)=\bruch{1}{2}x+3
[/mm]
[mm] t_{2}(x) [/mm] zu berechnen überlasse ich jetzt dir.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
Hallo!
Kommt es dann also nur noch auf die Steigung drauf an und gar nichtmehr auf das b in der einen Aufgabe? (-4)
Ich werde das nochmal ausrechnen, wenn ich wieder zu hause bin.. Ich hoffe doch sehr, dass das irgendwie zu schaffen ist.. *seufz*
Aber danke schonmal :)
Ich melde mich mit sicherheit heute abend nochmals
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Steigung muß [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein, würdest du die verändern, würden die Tangenten nicht parallel verlaufen. Du hast also nur die Möglichkeit, die Schnittstelle mit der y-Achse zu verändern, so wie von Marius für [mm] t_1 [/mm] gezeigt. [mm] t_2(x)=\bruch{1}{2}x+....
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
