Tangente durch 2. punkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Die Tangente an K ( ist der Graph von [mm] f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x [/mm] ) im Punkt B(u/f(u)) mit [mm] u\not=0 [/mm] geht durch den Ursprung. Bestimmen Sie die koordinaten von B und die Gleichung der Tangente. |
| Aufgabe 2 | Die Tangente im Kurvenpunkt A(-1.5/-3.375) schneidet K ( ist der Graph von [mm] f(x)=-\bruch{1}{3}x^{3}+3x [/mm] ) in einem weiteren Punkt S. Geben sie dessen Koordinaten an.
Bestimmen sie die Gleichung der Kurvennormalen im Ursprung.
Es gibt Kurvenpunkte B(u/f(u)) mit [mm] u\not=0 [/mm] in denen die Kurvennormale eine Ursprungsgerade ist. bestimmen Sie deren Anzahl. |
Hallo
Nun wollte ich fragen, wie errechne ich eine Tangente an einem Punkt den ich nicht kenne?
Zu 1.:
Ich muss gestehen ich habe garkeinen Ansatz.
Denn laut meiner Idee hätte es so aussehen müssen:
I y= f'(u)*x+0 Da: tangentenanstieg = 1. Ableitung
II 0= f'(u)*0 Da der 2. Punkt 0/0 ist
wobei mir die II einfach mal garnichts bringt :(
Wie könnte ich anders vorgehen? Wie gehe ich generell vor?
Zu 2.:
Hier bin ich etwas weiter:
f´(1,5) = [mm] -(-1,5)^{2}+3 =\bruch{3}{4}
[/mm]
Durch [mm] --3,375=\bruch{3}{4}*(-1,5)+t [/mm] komme ich auf [mm] t=-\bruch{9}{4}
[/mm]
Über [mm] 0=\bruch{1}{3}x^{3}-\bruch{9}{4}x+\bruch{9}{4} [/mm] komme ich zu einem zweiten Schnittpunkt der Tangente in S (3/0)
Über f'(0)=3 komme ich zur Ursprungsnormalen von [mm] y=-\bruch{1}{3}X
[/mm]
So und nun weiß ich nicht wie ich mir diesem Punkt B umgehe. Was sind Ursprungsgeraden genau? Sie gehen doch nur mit beliebiger Steigung m durch den Ursprung, oder?
Wie kann ich denn das nun allgemein ausrechnen ? Ich meine ich kann doch nicht an allen Punkten ableiten und das negative Reziproge bilden und dann schauen ob die Funktion auser durch den jeweiliegn Punkt auch durch den ursprung geht?
Oh je, hilfe, ich verstehe noch so wenig :(
Vielen Dank im Vorraus
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, die Tangente hat die Form [mm] f_T(x)=m*x [/mm] sie verläuft ja durch (0;0), jetzt hast du zwei Bedingungen:
1) Funktion und Tangente haben einen Punkt gemeinsam, also
[mm] x^{3}-6x^{2}+8x=m*x
[/mm]
2) Funktion und Tangente haben am Berührpunkt x den gleichen Anstieg, also sind die 1. Ableitungen gleich
[mm] 3x^{2}-12x+8=m
[/mm]
jetzt kannst du die 2. Gleichung in die 1. Gleichung einsetzen, berechne zunächst die Berührstelle x, dann den Anstieg m an dieser Stelle,
Steffi
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Hallo,
[mm] f'(-1,5)=\bruch{3}{4} [/mm] ist korrekt
S(3;0) ist korrekt
[mm] f(x)=-\bruch{1}{3}x [/mm] ist korrekt
deine Überlegung zur Ursprungsgeraden ist auch korrekt
die Normale hat den Anstieg [mm] -\bruch{1}{-x^{2}+3} [/mm] ebenso haben die Normale und deine Funktion wieder einen Punkt gemeinsam,
Steffi
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Zu erstens erscheint mir alles logisch!
prima, dankeschön =)
Aber wenn ich bei 2. den Ansatz von dir verfolge komme ich soweit:
I [mm] m*x=-\bruch{1}{3}x^{3}+3x
[/mm]
II [mm] m=\bruch{-1}{-x^{2}+3}
[/mm]
Es ergibt sich also:
[mm] \bruch{1}{3}x^{5}-4*x^{3}+10x=0.
[/mm]
Beim lösen dieser Funktion komme ich auf ganz komische Werte. Darf ich hier überhaupt erst ausklammern und dann substituieren?
Meine Lösungen wären ca. x=2,9 x=-2,9 X=-1,88 X=1,88
Laut meiner zeichnung is das Falsch :(
Wo ist denn nur der Fehler?
LG und VIELEN DANK =)
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Hallo, das sieht doch gut aus, an den Stellen [mm] u_1_2=\pm2,90... [/mm] und [mm] u_3_4=\pm1,88... [/mm] verläuft die Normale zur Tangente durch (0;0) also hast du vier Kurvenpunkte, ich habe dir mal die Normalen gezeichnet, die Tangenten kannst du dir dazu denken, sonst wird es zu unübersichtlich,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Wow,
vielen Dank Steffi!
Ich dachte echt schon 1 Jahr Mathematik sei völlig spurlos an mir vorrübergegangen als ich an diesen Aufgaben saß!
Ich danke vielmals :)
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