Tangente an Wurzel(4x) < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Do 03.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich hänge gerade an einer Aufgabe von meiner Nachhilfeschülerin und komme auf keinen grünen Zweig...
Und zwar ist die Tangengleichung an [mm] f(x)=\wurzel{4x} [/mm] im Punkt P(9/6) gesucht.
Ich hätte jetzt über die Ableitung die Tangentensteigung bestimmt und damit dann die Tangentengleichung aufgestellt. Allerdings sind sie noch nicht soweit, also kennen noch keine Ableitungen...
Bisher wurden in erster Linie Tangenten an Parabeln bestimmt, wozu sie dann auch die entsprechende Tangengleichung der Form y= [mm] 2ax_1 [/mm] x [mm] -y_1 [/mm] kennen...
Nur suche ich also nach einer Möglichkeit die oben genannte Aufgabe OHNE Ableitungen und Co. zu lösen.
Ich habe zunächst überlegt, die Umkehrfunktion zu f(x) zu bestimmen, denn dann hat man ja wieder eine quadratische Funktion, kann die Steigung bestimmen und müsste als Punkt entsprechend (-6/9) nehmen... allerdings bekomm ich das irgendwie nicht hin...
Eine andere Idee war, die Gleichung auf kompliziertem Wege herzuleiten. Dazu habe ich zunächst f(x) = [mm] \wurzel{4x} [/mm] und t(x)= mx+b gleichgesetzt und komme nach Betrachtung der Diskriminante auf m = [mm] \bruch{1}{b}... [/mm] Allerdings komm ich da auch nicht wirklich auf ein Ergebnis...
Hat jemand eine Idee oder kann was zu meinen Ideen sagen? Ich wär euch echt für jede Hilfe dankbar! So schwer kann die Aufgabe doch nicht sein...
LG
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Hallo Pia,
> ich hänge gerade an einer Aufgabe von meiner
> Nachhilfeschülerin und komme auf keinen grünen Zweig...
>
> Und zwar ist die Tangengleichung an [mm]f(x)=\wurzel{4x}[/mm] im
> Punkt P(9/6) gesucht.
>
> Ich hätte jetzt über die Ableitung die Tangentensteigung
> bestimmt und damit dann die Tangentengleichung aufgestellt.
> Allerdings sind sie noch nicht soweit, also kennen noch
> keine Ableitungen...
Aha.
> Bisher wurden in erster Linie Tangenten an Parabeln
> bestimmt, wozu sie dann auch die entsprechende
> Tangengleichung der Form y= [mm]2ax_1[/mm] x [mm]-y_1[/mm] kennen...
Na, da sind wir doch schon fast am Ziel.
> Nur suche ich also nach einer Möglichkeit die oben
> genannte Aufgabe OHNE Ableitungen und Co. zu lösen.
> Ich habe zunächst überlegt, die Umkehrfunktion zu f(x)
> zu bestimmen, denn dann hat man ja wieder eine quadratische
> Funktion, kann die Steigung bestimmen und müsste als Punkt
> entsprechend (-6/9) nehmen... allerdings bekomm ich das
> irgendwie nicht hin...
Das ist aber der Weg, den auch Deine Nachhilfeschülerin gehen kann.
Rechne doch mal vor, wo Du hängenbleibst.
> Eine andere Idee war, die Gleichung auf kompliziertem Wege
> herzuleiten. Dazu habe ich zunächst f(x) = [mm]\wurzel{4x}[/mm] und
> t(x)= mx+b gleichgesetzt und komme nach Betrachtung der
> Diskriminante auf m = [mm]\bruch{1}{b}...[/mm] Allerdings komm ich
> da auch nicht wirklich auf ein Ergebnis...
>
> Hat jemand eine Idee oder kann was zu meinen Ideen sagen?
> Ich wär euch echt für jede Hilfe dankbar! So schwer kann
> die Aufgabe doch nicht sein...
Ist sie auch nicht. Vielleicht hast Du nur eine Denkblockade?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 03.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
> > Bisher wurden in erster Linie Tangenten an Parabeln
> > bestimmt, wozu sie dann auch die entsprechende
> > Tangengleichung der Form y= [mm]2ax_1[/mm] x [mm]-y_1[/mm] kennen...
>
> Na, da sind wir doch schon fast am Ziel.
>
> > Nur suche ich also nach einer Möglichkeit die oben
> > genannte Aufgabe OHNE Ableitungen und Co. zu lösen.
> > Ich habe zunächst überlegt, die Umkehrfunktion zu
> f(x)
> > zu bestimmen, denn dann hat man ja wieder eine quadratische
> > Funktion, kann die Steigung bestimmen und müsste als Punkt
> > entsprechend (-6/9) nehmen... allerdings bekomm ich das
> > irgendwie nicht hin...
>
> Das ist aber der Weg, den auch Deine Nachhilfeschülerin
> gehen kann.
> Rechne doch mal vor, wo Du hängenbleibst.
>
Vielen Dank erstmal für die Antwort!
Also als erstes habe ich die Umkehrfunktion bestimmt:
y = [mm] \wurzel{4x} [/mm] /vertausche x und y
x = [mm] \wurzel{4y} \gdw x^2=4y \gdw [/mm] y= [mm] \bruch{1}{4} x^2
[/mm]
Damit hätte ich also meine Umkehrfunktion. Ich hätte nun also a = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Für die Steigung der Tangente ergibt sich also [mm] m_t= 2*\bruch{1}{4}*(-6) [/mm] = -3
Insgesamt habe ich die Tangentengleichung y= -3x - 9
Ich glaube ich sehe das Problem...Das ist natürlich jetzt meine Tangente an den Parabelast und ich muss das jetzt wieder auf die Ausgangsfunktion übertragen...oder? Doch wie genau ich das mache, ist mir grad noch unklar... weil einfach wieder Umkehrfunktion bilden funktioniert nicht...
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Hallo nochmal,
mach dir klar, was passiert, wenn Du eine Umkehrfunktion bildest. Der Graph wird dabei an der Gerade y=x gespiegelt.
> Also als erstes habe ich die Umkehrfunktion bestimmt:
> y = [mm]\wurzel{4x}[/mm] /vertausche x und y
> x = [mm]\wurzel{4y} \gdw x^2=4y \gdw[/mm] y= [mm]\bruch{1}{4} x^2[/mm]
>
> Damit hätte ich also meine Umkehrfunktion. Ich hätte nun
> also a = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
...und suchst die Tangente im Punkt (6;9).
> Für die Steigung der Tangente ergibt sich also [mm]m_t= 2*\bruch{1}{4}*(-6)[/mm]
> = -3
Nein, Du bekommst [mm] m_t=(+)3.
[/mm]
> Insgesamt habe ich die Tangentengleichung y= -3x - 9
bzw. y=3x-9
> Ich glaube ich sehe das Problem...Das ist natürlich jetzt
> meine Tangente an den Parabelast und ich muss das jetzt
> wieder auf die Ausgangsfunktion übertragen...oder? Doch
> wie genau ich das mache, ist mir grad noch unklar... weil
> einfach wieder Umkehrfunktion bilden funktioniert nicht...
Wieder an y=x spiegeln...
Oder eben Umkehrfunktion der Geraden bilden:
[mm] x=3y-9\quad\gdw\quad y=\bruch{1}{3}x+3
[/mm]
Wie Du leicht herausfindest, verläuft die Gerade schonmal durch (9;6). Und wenn Du mit Ableitungen etc. überprüfst, stellst Du fest, dass es sich tatsächlich um die gesuchte Tangente handelt.
Die Überprüfung steht Deiner Nachhilfeschülerin nicht zur Verfügung, aber der ganze Rest schon!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Do 03.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Oh ich glaub ich habe mein Problem entdeckt... Ich habe immer versucht den Punkt mit der negativen Zahl zu nehmen, weil ich unbedingt den linken Parabelast verwenden wollte und damit selbstverständlich nicht das richtige Ergebnis rausgekommen...
Wenn ich meine Umkehrfunktion hab, dann bestimm ich die Tangente im Punkt P'(6/9). Das ergibt dann y=3x-9. Wenn ich davon nun wieder die Umkehrfunktion bilde, also [mm] y=\bruch{1}{3} [/mm] x + 3, dann hab ich die gesuchte Tangentengleichung von f(x)...
Das ist mehr als logisch und ich war verdammt blind und hab rumgerechnet wie eine blöde ohne zu sehen, wie problemlos die Aufgabe auch für meine Nachhilfeschülerin zu lösen ist...
Uff, das war eine schwere Geburt, aber die Aufgabe ist wirklich gar nicht so schwer... ;)
Vielen, vielen Dank für die Hilfen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Do 03.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hey,
> Oh ich glaub ich habe mein Problem entdeckt... Ich habe
> immer versucht den Punkt mit der negativen Zahl zu nehmen,
> weil ich unbedingt den linken Parabelast verwenden wollte
> und damit selbstverständlich nicht das richtige Ergebnis
> rausgekommen...
>
> Wenn ich meine Umkehrfunktion hab, dann bestimm ich die
> Tangente im Punkt P'(6/9). Das ergibt dann y=3x-9. Wenn ich
> davon nun wieder die Umkehrfunktion bilde, also
> [mm]y=\bruch{1}{3}[/mm] x + 3, dann hab ich die gesuchte
> Tangentengleichung von f(x)...
>
> Das ist mehr als logisch und ich war verdammt blind und hab
> rumgerechnet wie eine blöde ohne zu sehen, wie problemlos
> die Aufgabe auch für meine Nachhilfeschülerin zu lösen
> ist...
>
> Uff, das war eine schwere Geburt, aber die Aufgabe ist
> wirklich gar nicht so schwer... ;)
>
> Vielen, vielen Dank für die Hilfen!
Der Grund für Nachhilfe und auch für ein Forum wie dieses ist doch, dass man so ein Brett vor dem Kopf von außen besser überblicken kann als von innen. 
Man lernt übrigens mehr über Bretter, wenn man mal von außen gucken darf. Also habe ich zu danken. Und Du Deiner Nachhilfeschülerin.
Grüße
reverend
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> Tangentengleichung an [mm]f(x)=\wurzel{4x}[/mm] im
> Punkt P(9/6) gesucht.
> Bisher wurden in erster Linie Tangenten an Parabeln
> bestimmt, wozu sie dann auch die entsprechende
> Tangentengleichung der Form y= [mm]2ax_1[/mm] x [mm]-y_1[/mm] kennen...
Hallo Pia90,
Falls diese Formel für Parabeln mit Scheitelpunkt S(0/0) und
mit der y-Achse als Symmetrieachse bekannt ist, dann ist
vielleicht auch deren geometrische Interpretation bekannt:
Will man in einem Parabelpunkt P die Tangente t konstruieren,
dann kann man so vorgehen:
1.) den Punkt P senkrecht auf die Achse der Parabel projizieren
Ergebnis: Lotfußpunkt L
2.) den Punkt F am Scheitelpunkt S der Parabel spiegeln
Ergebnis: Punkt [mm] \overline{L}
[/mm]
3.) die Gerade durch [mm] \overline{L} [/mm] und P ist die gesuchte Tangente t
In dieser Aufgabe liegt nur die Symmetrieachse der Parabel
nicht auf der y-Achse, sondern auf der x-Achse. Sonst ist aber
alles ganz analog.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Do 03.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke!
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