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Tangente Funktion Schnittpunkt: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mi 05.04.2006
Autor: FlorianJ

Aufgabe
Finden Sie den Wert für a, bei dem die Funktion [mm] f_{a}(x)= a*\wurzel{x} [/mm] und y =ln(x) an ihrem Schnittpunkt eine gemeinsame Tangente besitzen.

Hi zusammen, ich mal wieder ;-).

Vom Prinziep müsste die Aufgabe ja eigentlich einfach sein, leider verheddere ich mich aber immer irgendwie bzw werde mir unsicher.
ich schieße mal los:

zuerst einmal die ableitungen:
[mm] f_{a}'(x) [/mm] = [mm] \bruch{a}{\wurzel{x}} [/mm]
y' = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

meine gedanken:
schnittpunkt hängt von der Tangente ab
Tangente muss gleich sein, sprich f' = y'
gleichheit hängt von a ab

also.....
a= [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x} [/mm]
abgesehen davon wissen wir, dass die steigung m der tangente 1 ist
hm irgendwie stimmt das doch alles wieder nicht.....

bitte mal nen tipp oder eine struktur/ablauf der berechnung.

vielen dank!

Habe die Frage auch nur hier gestellt ;-).
Bis dann!

        
Bezug
Tangente Funktion Schnittpunkt: Funktionswerte verwenden
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Mi 05.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Florian!


> zuerst einmal die ableitungen:
> [mm]f_{a}'(x)[/mm] = [mm]\bruch{a}{\wurzel{x}}[/mm]

[notok] Hier fehlt noch der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] : [mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] a*\red{\bruch{1}{2}}*x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{\red{2}*\wurzel{x}}$ [/mm]


> y' = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]

[ok]


> meine gedanken:
> schnittpunkt hängt von der Tangente ab
> Tangente muss gleich sein, sprich f' = y'
> gleichheit hängt von a ab

[ok]

  
> also.....  a= [mm]\bruch{\wurzel{x}}{x}[/mm]

[notok] Folgefehler ... siehe oben!

Dann verwende die Gleichheit [mm] $\bruch{\wurzel{x}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x}}{\left( \ \wurzel{x} \ \right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}$ [/mm]


> abgesehen davon wissen wir, dass die steigung m der
> tangente 1 ist

[aeh] Woher wissen wir das? Das stimmt so nicht!

Aber es müssen nicht nur die Ableitungen übereinstimmen sondern auch die Funktionswerte: [mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ y$   [mm] $\gdw$ $a*\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .

Durch Einsetzen von $a \ = \ ...$ kannst Du dann zunächst den gemeinsamen x-Wert bestimmen und daraus den gesuchten Wert für $a_$ .


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Tangente Funktion Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mi 05.04.2006
Autor: FlorianJ

Hi Loddar und danke schonmal,

für a habe ich nun [mm] \bruch{2}{\wurzel{x}}.... [/mm]
wenn ich diesen wert nun in die tangentengleichung einsetze
erhalte ich für [mm] f_{x}'(x) [/mm] = [mm] \bruch{2}{2*x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
was selbstverständlich y' entspricht - wollten wir ja auch, nur wie soll ich da den x wert bestimmen? es würde sich ja aufheben, so dass wir
[mm] f_{a}'(x)=y'=1 [/mm]  da stehen hätten.
wo habe ich falsch eingesetzt bzw wie bestimme ich den x wert?

danke nochmal
Bezug
                        
Bezug
Tangente Funktion Schnittpunkt: andere Gleichung nehmen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mi 05.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Florian!


Du musst den Wert $a \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{x}}$ [/mm] in diese Gleichung hier einsetzen und nach $x_$ umstellen:

[mm] [quote]$\red{a}*\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)$[/quote] [/mm]

Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Tangente Funktion Schnittpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:39 Mi 05.04.2006
Autor: FlorianJ

ok also:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{x}}*\wurzel{x}=2 [/mm]

=> 2=ln(x)   => [mm] e^{2} [/mm] = x

setze ich nun ein [mm] f_{a}(e^{2}) [/mm] = a* e   = [mm] y(e^{2}) [/mm] = [mm] ln(e^{2}) [/mm] = 2

=>     a*e=2     [mm] a=\bruch{2}{e} [/mm]

aber nun bin ich glaub ich im kreis gelaufen.....hm irgendwie bin ich echt zu doof, hoffe mal das legt sich die kommenden tage wieder ;)

dennoch *thumbs up* loddar - sehr nett von dir :)
Bezug
                                        
Bezug
Tangente Funktion Schnittpunkt: Das ist das gesuchte Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Mi 05.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Florian!


Auch wenn Du es mit einem Schritt weniger hättest haben können ...

... aber $a \ = \ [mm] \bruch{2}{e} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.736$ ist das gesuchte Ergebnis! [ok]


Die "Ersparnis" wäre durch Einsetzen von $x \ = \ [mm] e^2$ [/mm] in die ermittelte Gleichung $a \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{e^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{e}$ [/mm] gewesen.


Gruß
Loddar

Bezug
                                                
Bezug
Tangente Funktion Schnittpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 Mi 05.04.2006
Autor: FlorianJ

okay danke dir :)
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