System von DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 28.11.2015 | | Autor: | Jonas123 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimme alle Lösungen des Differentialgleichungssystems
$\\ \left\{ \begin{matrix} { y }_{ 1 }^{ \prime \prime }={ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } \\ { y }_{ 2 }^{ \prime }={ y }_{ 1 }-{ y }_{ 1 }^{ \prime }+{ y }_{ 2 } \end{matrix} \right $ |
Hallo zusammen.
Ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe, denn ich komme nicht auf das gleiche Ergebnis wie Wolfram Alpha.
Hier meine bisherigen Überlegungen und Rechnungen:
Ich habe gelesen, dass man ein solches System in ein System 1. Ordnung umschreiben kann. Hierzu habe ich zuerst zweite Gleichung abgeleitet und dann die erste eingesetzt:
$\left\{ \begin{matrix} { y }_{ 1 }^{ \prime \prime }={ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } \\ { y }_{ 2 }^{ \prime \prime }={ y }_{ 1 }^{ \prime }-{ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 }-{ y }_{ 2 }^{ \prime } \end{matrix} \right $
Nun setze ich ${ u }_{ 1 }={ y }_{ 1 }$ und ${ u }_{ 2 }={ y }_{ 1 }^{ \prime }$ und ${ u }_{ 3 }={ y }_{ 2 }$ und ${ u }_{ 4 }={ y }_{ 2 }^{ \prime }$
Dies liefert mir dann 4 Gleichungen, die ich in eine Matrix schreibe:
$\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} { u }_{ 1 } \\ \begin{matrix} { u }_{ 2 } \\ { u }_{ 3 } \\ { u }_{ 4 } \end{matrix} \end{matrix} \right) ^{ \prime }$
Von dieser Matrix kann ich nun die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen. Im weiteren Verlauf muss ich die Jordansche Normalform bestimmen und dann die Matrix-Exponentialfunktion verwenden. (Ich möchte euch nicht mit langen Rechnungen aufhalten, die man mit Wolfram Alpha leicht selbst überprüfen kann)
Als Ergebnis erhalte ich (wie Wolfram Alpha)
${ e }^{ t }\cdot \left( \begin{matrix} 0 & 1 & \begin{matrix} 0 & 1-t \end{matrix} \\ t & 1-t & \begin{matrix} t & 1-t \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ -t \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ t \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ -t \end{matrix} & \begin{matrix} t \\ t \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right) $
Jetzt zu meiner eigentlichen Frage: Stimmen meine bisherigen Schritte? (ich meine damit nicht ob ich mich irgendwo verrechnet habe, sondern stimmt mein prinzipielles Vorgehen) Wenn ja, wie muss ich jetzt weitermachen um auf das Ergebnis zu kommen.
Besten Dank an alle, die sich Zeit nehmen die Frage zu lesen.
Jonas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 28.11.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo,
du sagst du kommst nicht auf die Lösung wie in WA. Mir ist aufgefallen, dass deine letzte Zeile der Matrix bzgl. [mm] $u_1, u_2, u_3$ [/mm] und [mm] $u_4$ [/mm] (-1 1 -1 -1 ) lauten müsste. Jetzt ist meine Frage, kommst du nicht auf das Ergebnis weil du nicht mehr weiter weist, oder hat dir dieses Vorzeichen eventuell deinen richtigen Ansatz zunichte gemacht? was sollte denn rauskommen?
MfG Hias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Sa 28.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] z:=y_1+y_2.
[/mm]
Aus der 2. Gleichung bekommen wir:
$z'=z$,
also
[mm] $z(x)=c_1e^x$
[/mm]
mit einer Konstanten [mm] c_1.
[/mm]
Damit ist
(*) [mm] y_1+y_2=c_1e^x [/mm]
Die erste Gl. liefert [mm] y_1''=c_1e^x [/mm] .
Bestimme daraus [mm] y_1 [/mm] und dann mit (*) auch noch [mm] y_2.
[/mm]
FRED
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