System umschreiben < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Sa 29.03.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | [mm] y_1''= y_2 [/mm] + [mm] y_1' [/mm] + [mm] y_2' [/mm] + e^2x
[mm] y_2'' [/mm] = [mm] y_1 [/mm] - [mm] y_1' [/mm] - [mm] y_2' [/mm] - e^2x
[mm] y_1(0) [/mm] = [mm] y_2(0) [/mm] = 0
[mm] y_1' [/mm] (0) = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] y_2' [/mm] (0) = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] |
Hallo zusammen, obiges (inhomogenes) System soll in ein System erster Ordnung umgeschrieben werden, nur habe ich leider überhaupt keine Ahnung, wie das gehen soll.
Wäre für einen Tipp wirklich sehr dankbar.
Viele Grüße, Andreas
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Hallo ebarni,
> [mm]y_1''= y_2[/mm] + [mm]y_1'[/mm] + [mm]y_2'[/mm] + e^2x
>
> [mm]y_2''[/mm] = [mm]y_1[/mm] - [mm]y_1'[/mm] - [mm]y_2'[/mm] - e^2x
>
> [mm]y_1(0)[/mm] = [mm]y_2(0)[/mm] = 0
> [mm]y_1'[/mm] (0) = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> [mm]y_2'[/mm] (0) = [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
> Hallo zusammen, obiges (inhomogenes) System soll in ein
> System erster Ordnung umgeschrieben werden, nur habe ich
> leider überhaupt keine Ahnung, wie das gehen soll.
>
> Wäre für einen Tipp wirklich sehr dankbar.
>
> Viele Grüße, Andreas
Führe hierzu ein paar Hilfsvariablen ein:
[mm]y_{1}=u_{0}[/mm]
[mm]y_{1}'=u_{1}=u_{0}'[/mm]
[mm]y_{1}''=\left(y_{1}'\right)'=u_{1}'[/mm]
[mm]y_{2}=v_{0}[/mm]
[mm]y_{2}'=v_{1}=v_{0}'[/mm]
[mm]y_{2}''=\left(y_{2}'\right)'={v_{1}}'[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 30.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo MathePower, hallo abakus,
vielen Dank für eure schnelle Antworten.
>
> Führe hierzu ein paar Hilfsvariablen ein:
>
> [mm]y_{1}=u_{0}[/mm]
> [mm]y_{1}'=u_{1}=u_{0}'[/mm]
> [mm]y_{1}''=\left(y_{1}'\right)'=u_{1}'[/mm]
>
> [mm]y_{2}=v_{0}[/mm]
> [mm]y_{2}'=v_{1}=v_{0}'[/mm]
> [mm]y_{2}''=\left(y_{2}'\right)'={v_{1}}'[/mm]
>
Wenn ich Dich richtig verstehe, MathePower, sieht das dann konkret so aus:
[mm] u_{1}'= v_{0} + u_{0}' + v_{0}' + e^{2x}[/mm]
[mm] v_{1}'= u_{0} - u_{0}' - v_{0}' - e^{2x}[/mm]
Dann kann ich [mm] u_{1} [/mm] und [mm] v_{1} [/mm] berechnen, ist das richtig?
Und wie komme ich dann auf [mm] y_{1} [/mm] bzw. [mm] y_{2}?
[/mm]
Oder habe ich Dich falsch verstanden bzw. das neue System falsch hingeschrieben?
Viele Grüße, Andreas
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Hallo ebarni,
> Hallo MathePower, hallo abakus,
>
> vielen Dank für eure schnelle Antworten.
>
> >
> > Führe hierzu ein paar Hilfsvariablen ein:
> >
> > [mm]y_{1}=u_{0}[/mm]
> > [mm]y_{1}'=u_{1}=u_{0}'[/mm]
> > [mm]y_{1}''=\left(y_{1}'\right)'=u_{1}'[/mm]
> >
> > [mm]y_{2}=v_{0}[/mm]
> > [mm]y_{2}'=v_{1}=v_{0}'[/mm]
> > [mm]y_{2}''=\left(y_{2}'\right)'={v_{1}}'[/mm]
> >
> Wenn ich Dich richtig verstehe, MathePower, sieht das dann
> konkret so aus:
>
> [mm]u_{1}'= v_{0} + u_{0}' + v_{0}' + e^{2x}[/mm]
>
> [mm]v_{1}'= u_{0} - u_{0}' - v_{0}' - e^{2x}[/mm]
Ersetze hier noch [mm]u_{0}'[/mm] durch [mm]u_{1}[/mm]
bzw. [mm]v_{0}'[/mm] durch [mm]v_{1}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]u_{1}'= v_{0} + u_{1} + v_{1} + e^{2x}[/mm]
[mm]v_{1}'= u_{0} - u_{1} - v_{1} - e^{2x}[/mm]
>
> Dann kann ich [mm]u_{1}[/mm] und [mm]v_{1}[/mm] berechnen, ist das richtig?
Bedenke, daß Du jetzt 4 Variablen hast.
Um hier die Lösung zu bestimmen brauchst Du auch 4 Gleichungen.
Demnach werden noch 2 Gleichungen benötigt:
[mm]u_{0}'=u_{1}[/mm]
[mm]v_{0}'=v_{1}[/mm]
Dann ist das System vollständig umgeschrieben.
>
> Und wie komme ich dann auf [mm]y_{1}[/mm] bzw. [mm]y_{2}?[/mm]
>
> Oder habe ich Dich falsch verstanden bzw. das neue System
> falsch hingeschrieben?
Du hast mich schon richtig verstanden.
>
> Viele Grüße, Andreas
>
Gruß
MathePower
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Hallo ebarni,
> Hallo MathePower, vielen lieben Dank erstmal für Deine
> Ausführungen.
>
> Sorry, aber ich muss gerade noch einmal nachfragen:
>
> Konnte Deine Überlegungen noch nicht so ganz
> nachvollziehen:
>
> >
> > Ersetze hier noch [mm]u_{0}'[/mm] durch [mm]u_{1}[/mm]
> > bzw. [mm]v_{0}'[/mm] durch [mm]v_{1}[/mm]
> >
> > Dann ergibt sich:
> >
> > [mm]u_{1}'= v_{0} + u_{1} + v_{1} + e^{2x}[/mm]
> >
> > [mm]v_{1}'= u_{0} - u_{1} - v_{1} - e^{2x}[/mm]
> >
>
> Soweit für mich klar.
>
> >
> > Bedenke, daß Du jetzt 4 Variablen hast.
>
> Welche 4 Variablen meinst Du genau? In meinem
> Ausgangssystem habe ich doch die zwei Variablen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm]
> mit ihren Ableitungen bis zum Grad 2, die aber nicht als
> weitere Unbekannte gelten, oder?
Ich meine die Variablen [mm]u_{0}, \ u_{1}, \ v_{0}, \ v_{1}[/mm].
>
> Jetzt habe ich die beiden Unbekannten u und v mit ihren
> Ableitungen sozusagen.
>
> > Um hier die Lösung zu bestimmen brauchst Du auch 4
> > Gleichungen.
> >
> > Demnach werden noch 2 Gleichungen benötigt:
> >
> > [mm]u_{0}'=u_{1}[/mm]
> >
> > [mm]v_{0}'=v_{1}[/mm]
> >
> > Dann ist das System vollständig umgeschrieben.
> >
>
> Wieso ausgerechnet diese beiden? Muss ich immer beim
> umschreiben von einem System zweiter Ordnung auf ein System
> erster Ordnung die Gleichungen verdoppeln und warum? Das
> ist mir noch nicht so ganz klar geworden.
Ja, die Gleichungen musst Du beim Umschreiben eines Systems zweiter Ordnung auf ein System erster Ordnung verdoppeln.
Der Grund ist der, dass man hier nur erste Ableitungen hat.
Ein System erster Ordnung sieht so aus: [mm]z'=A\left(t\right)*z+b\left(t\right)[/mm], daher darf in einer Gleichung nur einmal eine Ableitung vorkommen.
>
> Vielen lieben Dank für Deine Geduld  und sorry für meine
> Blockade..![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
>
> Viele Grüße, Andreas
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 So 30.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo MathePower,
> Der Grund ist der, dass man hier nur erste Ableitungen
> hat.
>
> Ein System erster Ordnung sieht so aus:
> [mm]z'=A\left(t\right)*z+b\left(t\right)[/mm], daher darf in einer
> Gleichung nur einmal eine Ableitung vorkommen.
alles klar, vielen Dank für Deine Erklärungen! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Viele liebe Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Sa 29.03.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]y_1''= y_2[/mm] + [mm]y_1'[/mm] + [mm]y_2'[/mm] + e^2x
>
> [mm]y_2''[/mm] = [mm]y_1[/mm] - [mm]y_1'[/mm] - [mm]y_2'[/mm] - e^2x
>
> [mm]y_1(0)[/mm] = [mm]y_2(0)[/mm] = 0
> [mm]y_1'[/mm] (0) = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> [mm]y_2'[/mm] (0) = [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
> Hallo zusammen, obiges (inhomogenes) System soll in ein
> System erster Ordnung umgeschrieben werden, nur habe ich
> leider überhaupt keine Ahnung, wie das gehen soll.
>
> Wäre für einen Tipp wirklich sehr dankbar.
>
> Viele Grüße, Andreas
Ich habe wieder einmal von der Materie zwar kaum Ahnung, sehe aber sofort einige Möglichkeiten, aus dem System weitere Informationen zu gewinnen. Weiß nicht, ob es dir hilft.
Eine Addition der ersten beiden Gleichungen liefert
[mm]y_1''+y_2''= y_2+y_1[/mm]
Aus [mm]y_1(0)[/mm] = [mm]y_2(0)[/mm] = 0 folgt dann
[mm] y_1''(0)=-y_2''(0)
[/mm]
Durch Einsetzen aller bekannten Werte an der Stelle 0 erhält man
[mm] y_1''(0)= [/mm] 1 und [mm] y_2''(0)= [/mm] -1. (Du meintest mit "e^2x" doch sicher [mm] e^{2x}??)
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
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