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| Aufgabe | | Bestimmen sie zum DGL-System [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1} * \overrightarrow{x}(t) + \vektor{e^t + t^2e^{3t} \\ e^t - (t^2 + 2t)e^{3t} \\ e^t + t^2e^{3t}}[/mm] anhand der Inhomogenität eine partikuläre Lösung. |
Hallo,
ich habe obiges DGL-System nach dem Ansatz "vom Typ der rechten Seite" wie gefordert beackert und es tritt für einen Anteil der Inhomogenität Resonanz im Hauptraum des Eigenwertes 3 der Systemmatrix auf. Ich habe entsprechend einen (ziemlich langen) Ansatz für die partikuläre Lösung erzeugt, in die DGL eingesetzt und dann über Vergleich der Koeffizientenfunktionen [mm]e^t, e^{3t}, te^{3t}, t^2e^{3t}[/mm] folgende vier Gleichungen erhalten:
[mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1} \overrightarrow{w_0} + \vektor{1 \\ 1 \\ 1} = w_0
\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1}(\overrightarrow{w_3} + \overrightarrow{w_7}) = 3\overrightarrow{w_3} + \overrightarrow{w_7} + \overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_5} + \overrightarrow{w_6}
\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1}(\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_5} + \overrightarrow{w_6}) + \vektor{0 \\ -2 \\ 0} = 3\overrightarrow{w_2} + 3\overrightarrow{w_5} + \overrightarrow{w_6} + 2\overrightarrow{w_1} + 2\overrightarrow{w_4}
\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1}(\overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_4}) + \vektor{1 \\ -1 \\ 1}= 3(\overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_4})[/mm]
Ohne euch jetzt zumuten zu wollen, das nachzurechnen (deswegen habe ich meinen Rechenweg auch erstmal nicht gepostet), einige Fragen:
1) Kann es überhaupt sein, dass ich bei so einem Ansatz dermaßen viele zu bestimmende (konstante) Vektoren erhalte oder deutet das daraufhin, dass irgendwas grundlegend faul ist?
2) Wenn das alles soweit richtig ist - wie löse ich denn sowas? Ich hab 4 Freiheitsgrade, das ist mir klar. Aber ich weiß (bis auf die Gleichung in [mm] w_0) [/mm] überhaupt nicht, wie ich da vorgehen soll.
Danke für eure Hilfe,
Micha
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Oha, da fehlt natürlich in der Aufgabenstellung noch das [mm]\overrightarrow{x}'(t)[/mm] auf der rechten Seite, sorry. :)
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Hallo micha_goes_ti,
> Bestimmen sie zum DGL-System [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1} * \overrightarrow{x}(t) + \vektor{e^t * t^2e^{3t} \\ e^t - (t^2 + 2t)e^{3t} \\ e^t + t^2e^{3t}}[/mm]
> anhand der Inhomogenität eine partikuläre Lösung.
> Hallo,
>
> ich habe obiges DGL-System nach dem Ansatz "vom Typ der
> rechten Seite" wie gefordert beackert und es tritt für
> einen Anteil der Inhomogenität Resonanz im Hauptraum des
> Eigenwertes 3 der Systemmatrix auf. Ich habe entsprechend
> einen (ziemlich langen) Ansatz für die partikuläre
> Lösung erzeugt, in die DGL eingesetzt und dann über
> Vergleich der Koeffizientenfunktionen [mm]e^t, e^{3t}, te^{3t}, t^2e^{3t}[/mm]
> folgende vier Gleichungen erhalten:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1} \overrightarrow{w_0} + \vektor{1 \\ 1 \\ 1} = w_0
\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1}(\overrightarrow{w_3} + \overrightarrow{w_7}) = 3\overrightarrow{w_3} + \overrightarrow{w_7} + \overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_5} + \overrightarrow{w_6}
\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1}(\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_5} + \overrightarrow{w_6}) + \vektor{0 \\ -2 \\ 0} = 3\overrightarrow{w_2} + 3\overrightarrow{w_5} + \overrightarrow{w_6} + 2\overrightarrow{w_1} + 2\overrightarrow{w_4}
\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1}(\overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_4}) + \vektor{1 \\ -1 \\ 1}= 3(\overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_4})[/mm]
>
> Ohne euch jetzt zumuten zu wollen, das nachzurechnen
> (deswegen habe ich meinen Rechenweg auch erstmal nicht
> gepostet), einige Fragen:
>
> 1) Kann es überhaupt sein, dass ich bei so einem Ansatz
> dermaßen viele zu bestimmende (konstante) Vektoren erhalte
> oder deutet das daraufhin, dass irgendwas grundlegend faul
> ist?
Dann ist etwas faul.
Poste doch mal die Rechenschritte,
wie Du auf diese Gleichungen kommst.
Der Ansatz ist hier nicht richtig, da sowohl
1 als auch 3 Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1}[/mm]
sind.
Daher ist der Ansatz gemäß der Vielfachheit der Eigenwerte
und der entsprechenden Störfunktion zu wählen.
Ist das Polynom [mm]\overrightarrow{s}\left(t\right)[/mm] in der Störfunktion [mm]\overrightarrow{s}\left(t\right)*e^{\lambda*t}[/mm]
vom Grad 2 und die Vielfachheit des Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] gleich 1,
so ist hier mit einem Polynom 3. Grades anzusetzen.
>
> 2) Wenn das alles soweit richtig ist - wie löse ich denn
> sowas? Ich hab 4 Freiheitsgrade, das ist mir klar. Aber ich
> weiß (bis auf die Gleichung in [mm]w_0)[/mm] überhaupt nicht, wie
> ich da vorgehen soll.
>
> Danke für eure Hilfe,
> Micha
Gruss
MathePower
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Ich habs geahnt ^^ Okay, so siehts aus:
Die Eigenwerte zur Systemmatrix sind, wie du schon festgestellt hast, 1 und 3, wobei 1 algebraische Vielfachheit 2 besitzt. Die entsprechenden Räume zu den Eigenwerten sind
[mm]Eig(1) = C_1\vektor{1 \\ -1 \\ 0} + C_2\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
sowie
[mm]Eig(3) = C_1\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Das war gegeben.
Die Inhomogenität zerlegte ich folgendermaßen:
[mm]e^t\vektor{1 \\ 1 \\ 1} + t^2e^{3t}\vektor{1 \\ -1 \\ 1} + te^{3t}\vektor{0 \\ -2 \\ 0}[/mm]
Wie man sieht, stimmen die Eigenwerte beide mit den Argumenten der e-Funktionen der Inhomogenität überein, potentiell also Resonanz. Jetzt analysiere ich die Richtungsvektoren der Inhomogenität darauf, welche Anteile sie in den jeweiligen Räumen zu den Eigenwerten haben, und man stellt fest, dass [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] komplett im Raum zum EW 3 liegt (e-Funktion hatte Exponent 1), d.h. hier tritt keine Resonanz auf, [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] liegt komplett im Raum zum EW 1 (e-Funktion hatte Exponent 3), d.h. hier tritt ebenfalls keine Resonanz auf, und [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 0}[/mm] hat Anteile in beiden Räumen, d.h. es tritt definitiv Resonanz auf.
Entsprechend dieser Analyse habe ich jetzt folgende Teile in meinen Lösungsansatz eingebaut:
[mm]e^t\overrightarrow{w_0}[/mm] für den resonanzfreien Vektor, dessen e-Funktion in der Inhomogenität das Argument 1t hatte.
[mm]e^{3t}(t^2\overrightarrow{w_1} + t\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_3})[/mm] für den resonanzfreien Vektor, dessen e-Funktion in der Inhomogenität das Argument 3t hatte.
[mm]t(e^{3t}(t\overrightarrow{w_4} + \overrightarrow{w_5})) + e^{3t}(t\overrightarrow{w_6} + \overrightarrow{w_7})[/mm] für den Vektor, bei dem Resonanz aufgetreten ist.
Alles das addiert ergibt meinen Ansatz für die partikuläre Lösung, den ich dann in die DGL eingesetzt habe, und da ergaben sich die 4 Gleichungen vom Anfang.
Was davon ist jetzt falsch? Und vor allem - warum? :)
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Hallo micha_goes_ti,
> Ich habs geahnt ^^ Okay, so siehts aus:
>
> Die Eigenwerte zur Systemmatrix sind, wie du schon
> festgestellt hast, 1 und 3, wobei 1 algebraische
> Vielfachheit 2 besitzt. Die entsprechenden Räume zu den
> Eigenwerten sind
>
> [mm]Eig(1) = C_1\vektor{1 \\ -1 \\ 0} + C_2\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]Eig(3) = C_1\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Das war gegeben.
>
> Die Inhomogenität zerlegte ich folgendermaßen:
>
> [mm]e^t\vektor{1 \\ 1 \\ 1} + t^2e^{3t}\vektor{1 \\ -1 \\ 1} + te^{3t}\vektor{0 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> Wie man sieht, stimmen die Eigenwerte beide mit den
> Argumenten der e-Funktionen der Inhomogenität überein,
> potentiell also Resonanz. Jetzt analysiere ich die
> Richtungsvektoren der Inhomogenität darauf, welche Anteile
> sie in den jeweiligen Räumen zu den Eigenwerten haben, und
> man stellt fest, dass [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] komplett im Raum
> zum EW 3 liegt (e-Funktion hatte Exponent 1), d.h. hier
> tritt keine Resonanz auf, [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] liegt
Es ist doch so, daß
[mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
nicht im Eigenraum zum Eigenwert 1 liegt, daher keine Resonanz.
> komplett im Raum zum EW 1 (e-Funktion hatte Exponent 3),
> d.h. hier tritt ebenfalls keine Resonanz auf, und [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 0}[/mm]
Hier dasselbe Argument:
[mm]\pmat{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
liegt nicht im Eigenraum zum Eigenwert 3, daher keine Resonanz.
> hat Anteile in beiden Räumen, d.h. es tritt definitiv
> Resonanz auf.
Nein, für den Vektor gilt dasselbe:
[mm]\pmat{0 \\ -2 \\ 0}[/mm]
liegt nicht im Eigenraum zum Eigenwert 3, daher keine Resonanz.
>
> Entsprechend dieser Analyse habe ich jetzt folgende Teile
> in meinen Lösungsansatz eingebaut:
>
> [mm]e^t\overrightarrow{w_0}[/mm] für den resonanzfreien Vektor,
> dessen e-Funktion in der Inhomogenität das Argument 1t
> hatte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]e^{3t}(t^2\overrightarrow{w_1} + t\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_3})[/mm]
> für den resonanzfreien Vektor, dessen e-Funktion in der
> Inhomogenität das Argument 3t hatte.
>
> [mm]t(e^{3t}(t\overrightarrow{w_4} + \overrightarrow{w_5})) + e^{3t}(t\overrightarrow{w_6} + \overrightarrow{w_7})[/mm]
> für den Vektor, bei dem Resonanz aufgetreten ist.
Da hier für den Eigenwert 3 keine Resonanz auftritt,
ist hier mit
[mm]e^{3t}(t^2\overrightarrow{w_1} + t\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_3})[/mm]
anzusetzen.
>
> Alles das addiert ergibt meinen Ansatz für die
> partikuläre Lösung, den ich dann in die DGL eingesetzt
> habe, und da ergaben sich die 4 Gleichungen vom Anfang.
> Was davon ist jetzt falsch? Und vor allem - warum? :)
Gruss
MathePower
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Das verwundert mich. Unser Tutor hat mehrfach explizit darauf hingewiesen, dass es nicht wichtig ist, ob der Vektor als solcher im Raum liegt, sondern ob er ANTEILE im jeweiligen Raum hat. Und weil
[mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 0} = 1*\vektor{1 \\ -1 \\ 0} + 1\vektor{0 \\ 0 \\ 1} + (-1)*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
scheint genau das ja der Fall zu sein. Oder?
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Hallo micha_goes_ti,
> Das verwundert mich. Unser Tutor hat mehrfach explizit
> darauf hingewiesen, dass es nicht wichtig ist, ob der
> Vektor als solcher im Raum liegt, sondern ob er ANTEILE im
> jeweiligen Raum hat. Und weil
>
> [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 0} = 1*\vektor{1 \\ -1 \\ 0} + 1\vektor{0 \\ 0 \\ 1} + (-1)*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> scheint genau das ja der Fall zu sein. Oder?
Offenbar läßt sich der angegebene Vektor als Linearkombination
zu den Eigenräumen der Eigenwerte 1 und 3 darstellen.
Hier ist aber nach dem Anteil im jeweiligen Raum gefragt.
Da ein Teil der Störfunktion
[mm]\pmat{0 \\ -2 \\ 0}*t*e^{3t}[/mm]
lautet, ist zu untersuchen, ob der Vektor
[mm]\pmat{0 \\ -2 \\ 0}[/mm]
einen Anteil im Eigennraum zum Eigenwert 3 hat.
Dies ist hier nicht der Fall.
Gruss
MathePower
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Hmm. Ich verstehe nicht recht - wenn ich den Vektor [mm]\pmat{0 \\ -2 \\ 0}[/mm] als Linearkombination der Vektoren, die die Eigenräume aufspannen, darstellen kann, und dabei den Vektor, der den Eigenraum von 3 aufspannt, nutzen muss, dann ist doch ein Anteil an diesem Eigenraum vorhanden? Was hab ich hier falsch verstanden?
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Hallo micha_goes_ti,
> Hmm. Ich verstehe nicht recht - wenn ich den Vektor [mm]\pmat{0 \\ -2 \\ 0}[/mm]
> als Linearkombination der Vektoren, die die Eigenräume
> aufspannen, darstellen kann, und dabei den Vektor, der den
> Eigenraum von 3 aufspannt, nutzen muss, dann ist doch ein
> Anteil an diesem Eigenraum vorhanden? Was hab ich hier
> falsch verstanden?
Hier ist nicht Gesamtheit aller Eigenräume zu betrachten,
sondern nur der Eigenraum zum Eigenwert 3.
Gruss
MathePower
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