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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 So 04.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $n\geq [/mm] 2$ und sei $sym(n)$ die symmetrische Gruppe. Sei weiter [mm] $\sigma\in [/mm] sym(n)$, [mm] $\sigma\neq [/mm] id$ beliebig.
I) Konstruieren Sie eine Transposition [mm] $\tau\in [/mm] sym(n)$, so dass [mm] $\sigma\circ\tau(i)=i$ [/mm] für mindestens ein [mm] $i\in\{1,...,n\}$ [/mm] gilt.
II) Zeigen Sie mit Induktion nach $n$, dass sich die Abbildung [mm] $\sigma$ [/mm] als Komposition von Transpositionen schreiben lässt. |
Hi, ich habe gerade ein wenig Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe.
Also die Symmetrische Gruppe sym(n) ist ja eine bijektive Abbildung in sich selbst. Und [mm] \sigma\in [/mm] sym(n) ist einfach eine "Umsortierung".
Zum Beispiel:
[mm] $n=\{1,2,3\}$
[/mm]
Dann wäre [mm] $\sigma$ [/mm] z.B.
[mm] $\sigma=\{3,2,1\}$
[/mm]
Die Transposition [mm] $\tau$ [/mm] soll nun so konstruiert werden, dass beim "umsortieren" mindestens ein Element an der selben Stelle stehen bleibt, wie hier zum Beispiel die 2 an zweiter Stelle.
Aber irgendwie kann ich mit der Aufgabe nichts anfangen...
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 So 04.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du hast also eine bijektive Abbildung [mm] \sigma [/mm] auf [mm] \{1,2,\ldots ,n\} [/mm] gegeben. Nun willst du eine Transposition [mm] \tau [/mm] davorschalten, sodass [mm] $(\sigma \circ \tau)(i)=i$ [/mm] gilt.
Probiere mal für eine allgemeine Permutation [mm] \sigma [/mm] ein [mm] \tau [/mm] zu finden, sodass die 1 auf der 1 bleibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 So 04.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Leider weiß ich nicht so recht was mit Transposition hier gemeint ist.
Also was das Transponieren einer Matrix ist ist klar, aber wenn ich eine Menge transponieren soll.... irgendwie ergibt das wenig Sinn.
Ist das auch einfach eine Spiegelung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 04.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, da liegt das Problem!
Eine Transposition vertauscht genau 2 Elemente und lässt den Rest, wie er ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mo 05.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, okay. Ich hatte mich da wohl irgendwie zu sehr auf das transponieren versteift. Ich dachte es würde eben wie bei Matrizen "alles" vertauschen. Aber ja, da klingelt es bei mir.
Indem Fall könnte ich ja einfach die Transposition [mm] $\tau$ [/mm] nehmen, die das "letze" und "vorletze" Element der Menge vertauscht, wobei [mm] \sigma [/mm] ja nicht die Identität sein darf, also zum Beispiel:
[mm] $\sigma:=\{1,3,2,4,5,...,n-1,n\}$
[/mm]
[mm] $\sigma\circ\tau(i)=\{1,3,2,4,5,...,n,n-1\}$
[/mm]
In etwa so?
Ich weiß aber leider nicht wie ich [mm] $\tau$ [/mm] formal angeben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Ok, also du hast ein [mm] \sigma [/mm] gegeben, das bijektiv ist. Nun suchst du ein [mm] \tau [/mm] mit [mm] (\sigma \circ \tau)(1)=\sigma(\tau(1))=1. [/mm] Welchen Wert könnte man für [mm] \tau(1) [/mm] wählen, damit [mm] \sigma(\tau(1))=1 [/mm] gilt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mo 05.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann einfach auch die 1, also
[mm] $\tau(1)=1$
[/mm]
Damit [mm] $\sigma(\tau(1))=\sigma(1)=1$
[/mm]
Muss ich mir also [mm] $\sigma(i)$ [/mm] so vorstellen, dass es mir die i-te Position in der Menge angibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Teufel |
[mm] \sigma(1) [/mm] muss doch nicht unbedingt 1 sein! Ja, salopp gesagt kannst du das annehmen, wenn du die menge als geordnet betrachten willst.
z.B. [mm] \{4,2,3,1\} [/mm] kannst du also [mm] \sigma [/mm] auffassen mit [mm] \sigma(1)=4, \sigma(2)=2, \sigma(3)=3, \sigma(4)=1.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mo 05.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann wählt man [mm] $\tau$ [/mm] einfach als [mm] $\sigma^{-1}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Teufel |
[mm] \tau(1)=\sigma^{-1}(1), [/mm] ja. Also vertauscht [mm] \tau [/mm] nur die Werte 1 und [mm] \sigma^{-1}(1). [/mm] Das ist deine gewünschte Transposition für i=1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Mo 05.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, die Aufgabe war an Sich ja beinahe banal...
Hat mir jedenfalls viel fürs Verständnis geholfen. Danke.
Und für die zweite Aufgabe:
II)
I.A:
$n=2$
[mm] $sym(\{1,2\}$
[/mm]
Dann wäre [mm] $\sigma=\{2,1\}$. [/mm] Nun brauch ich eine Transposition [mm] $\tau$, [/mm] welche die 1 und die 2 vertauscht, also
[mm] $\tau(1)=2$
[/mm]
[mm] $\tau(2)=1$
[/mm]
Aber mit was muss ich die Transposition verketten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Für $n=2$ gilt die Aussage trivialerweise, da [mm] \sigma [/mm] selbst schon eine Transposition ist, d.h. [mm] \sigma [/mm] lässt sich schreiben als Komposition von einer Transposition, wenn du so willst!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mo 05.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Und wie würde der Schritt für
[mm] $n\mapsto [/mm] n+1$
aussehen?
Was muss ich dann nehmen?
Soll ich [mm] $\tau \quad [/mm] n+1$ mal mit sich selbst verketten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Nein, wenn du ein [mm] \tau [/mm] mit sich selbst verkettest, landest du doch wieder bei der Identität!
Sei nun die Aussage nun für $n$ wahr, also jede Permutation von [mm] \{1,\ldots, n\} [/mm] nach [mm] \{1,\ldots, n\} [/mm] lässt sich als Komposition von Transpositionen schreiben.
jetzt hast du eine permutation auf n+1 Elementen gegeben. Dann schalte doch mal eine Transposition davor, die das (n+1)-te Element schon an die richtige Stelle bringt, d.h. [mm] \sigma(\tau(n+1))=n+1soll [/mm] gelten. So ein [mm] \tau [/mm] kannst du ja finden.
Jetzt ist [mm] \sigma \circ \tau [/mm] = [mm] \sigma' [/mm] , das nur noch auf den ersten n Elementen operiert. Jetzt die Induktionsvoraussetzung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 Mo 05.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay.
Ich danke die vielmals für deine Hilfe.
Ich denke vieles ist mir klarer als vorher.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Wenn du noch Fragen hast, dann frag ruhig! Die Aufgabe ist wirklich nicht so tiefgehend, du musst nur mit den neuen Begrifflichkeiten klarkommen.
Anschaulich kannst du dir die Aussage auch so vorstellen: Wenn du n Karten auf der Hand hast kannst du sie sortieren (in die Reihenfolge 1,2,3,4,... bringen), indem du immer genau 2 vertauschst. Und das eben ganz oft.
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