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| Aufgabe | [mm] D_{4} [/mm] Symmetriegruppe des Quadrats mit { [mm] e,\gamma,\gamma^{2},\gamma^{3},\delta\gamma, \delta\gamma^{2}, \delta\gamma^{3} [/mm] } wobei e die Identität, [mm] \gamma [/mm] die Drehung mit [mm] v_{1} \mapsto v_{2}, v_{2} \mapsto v_{3} [/mm] usw. und [mm] \delta [/mm] die Spiegelung mit [mm] v_{1} \mapsto v_{4}, v_{2} \mapsto v_{3} [/mm] usw. .
Eine Teilmenge H [mm] \subset D_{4} [/mm] heißt Untergruppe von [mm] D_{4}, [/mm] falls die folgenden 3 Bedingungen erfüllt sind:
(1) e [mm] \in [/mm] H
(2) x,y [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] xy [mm] \in [/mm] H
(3) x [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow x^{-1} \in [/mm] H
Bestimmen sie 3 paarweise verschiedene Untergruppen von [mm] D_{4} [/mm] mit jeweils 4 Elementen. |
Also 2 Untergruppen hab ich (glaub ich) schon gefunden ...
[mm] H_{1} [/mm] = { e, [mm] \gamma^{2}, \delta, \delta\gamma^{2} [/mm] }
[mm] H_{2} [/mm] = { e, [mm] \gamma, \gamma^{2}, \gamma^{3} [/mm] }
Jetzt fehlt mir allerdings noch die dritte ... hat jemand zufällig noch ne idee??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es fehlt noch die Untergruppe, die v. den Spiegelungen an den Diagonalen erzeugt wird, also
[mm] <\gamma \delta, \delta\gamma>
[/mm]
Gruß v. Angela
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