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| Aufgabe | Sei [mm] D_{4} [/mm] die Symmetriegruppe des Quadrats. Eine Teilmenge H [mm] \subset D_{4} [/mm] heißt Untergruppe von [mm] D_{4}, [/mm] falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(1) e [mm] \in [/mm] H
(2) x, y [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] xy [mm] \in [/mm] H
(3) x [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow x^{-1} \in [/mm] H
Bestimmen Sie
(a) Eine Untergruppe von [mm] D_{4} [/mm] mt einem Element und eine Untergruppe mit 8 Elementen
(b) 5 (paarweise verschiedene) Untergruppen von [mm] D_{4} [/mm] mit jeweils 2 Elementen. |
Die (a) ist mir eigentlich klar, aber wie geht die (b)???
und was meint "paarweise verschieden"?
kann mir jemand helfen?
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Hallo mattemonster,
> Sei [mm]D_{4}[/mm] die Symmetriegruppe des Quadrats. Eine Teilmenge
> H [mm]\subset D_{4}[/mm] heißt Untergruppe von [mm]D_{4},[/mm] falls die
> folgenden Bedingungen erfüllt sind:
>
> (1) e [mm]\in[/mm] H
> (2) x, y [mm]\in[/mm] H [mm]\Rightarrow[/mm] xy [mm]\in[/mm] H
> (3) x [mm]\in[/mm] H [mm]\Rightarrow x^{-1} \in[/mm] H
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> Bestimmen Sie
> (a) Eine Untergruppe von [mm]D_{4}[/mm] mt einem Element und eine
> Untergruppe mit 8 Elementen
> (b) 5 (paarweise verschiedene) Untergruppen von [mm]D_{4}[/mm] mit
> jeweils 2 Elementen.
> Die (a) ist mir eigentlich klar, aber wie geht die (b)???
> und was meint "paarweise verschieden"?
> kann mir jemand helfen?
Paarweise verschieden bedeutet, dass je 2 verschieden sind.
Du sollst also 5 Untergruppen mit je 2 Elementen angeben, wobei sich keine 2 Untergruppen gleichen dürfen.
Bedenke, dass es in jeder Gruppe, also auch in jeder Untergruppe ein neutrales Element geben muss.
Dieses wird von der "Obergruppe" vererbt, ist also das neutrale Element von [mm] $D_4$.
[/mm]
Das ist also $id$ oder [mm] $\rho_{360°}$
[/mm]
Nun überlege, welches Element [mm] $\in D_4$ [/mm] du noch zu $id$ dazu nehmen kannst, um daraus eine Gruppe zu basteln.
Bedenke, was du in (a) geschrieben hast bzg. der Abgeschlossenheit der Verknüpfung
LG
schachuzipus
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