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Hallo,
habe drei Aufgaben gerechnet, weiß aber erstens nicht ob die richtig sind und weiß an einigen Stellen nicht ob ich fertig bin oder nicht
Also:
Bestimme [mm] \alpha [/mm] mit 0° _< [mm] \alpha [/mm] _< 90°
Aufgabe 1)
sin (-1200°) = sin [mm] \alpha
[/mm]
So ich habe folgendes gerechnet:
sin (-1200°) = sin (1080° + 120°) = sin 120°
= - sin (180° - 60°) = sin (180° + 60°)
= - sin (0° + 60°) = sin (0° - 60°)
= - sin 60° = - [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{3}
[/mm]
stimmt das so? auch die Schreibweise?
Frage 1.1) beim schritt: = - sin (0° + 60°) = sin (0° - 60°)
falls das richtig sein sollte, warum dann hier:- sin (0° + 60°) : zuerst minus und dann +, bei 0 ist ja Punktsymetrie, und für Punktsymetrie heißt ja eigentlich die Formel : " sin ( k x [mm] \pi [/mm] + x ) = - sin ( k x [mm] \pi [/mm] - x)
aber bei einigen Aufgaben ist das vertauscht?
Aufgabe 2)
cos 950° = cos [mm] \alpha
[/mm]
cos 950° = cos ( 720° + 230°)
= cos 230° = cos (180°+50°)
=cos (180° - 50°) = -cos 50°
[mm] \alpha [/mm] = -50°
geht das so bei diesem Schritt oder muss man noch mal einen Schritt weitergehen , also das da sin (90° oder 0° steht) ???
Aufg.3)
cos 1000° = cos [mm] \alpha
[/mm]
cos 1000° = cos (720° + 280°)
cos 280° = cos (180° + 100°)
cos (180° - 100°) = cos 80°
=> [mm] \alpha [/mm] = 80°
geht das auch hier, ohne 90° zuschreiben (wegen der Aufgabenstellung)
weil ansonsten wenn ich weiterrechnen würde mit 90° oder gleich weiter mit 0°
wie würde das dann aussehen?
cos ( 0° - 80°) = cos ( 0° + 80°)
3.1 ) Gibt es bei so etwas (( cos ( 0° - 80°) = cos ( 0° + 80°) ))eigentlich eine Reihenfolge, also wann zuerst + in der Klammer und wann - zuerst???
danke für die beantwortung der drei Aufgaben
:)
mfg
Nightwalker12345
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Hallo Nightwalker12345,
Ich denke, du hast richtig gedacht. -1200° bedeutet, daß wir uns im Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis bewegen. Wir bewegen uns zunächst [mm] $3x\!$ [/mm] um den Ursprung. Jetzt sind noch -120° zurückzulegen. Nachdem wir dies getan haben, befinden wir uns im 3ten Quadranten des Kartesischen Koordinatensystems (-30° von der [mm] $y\texttt{-Achse}$ [/mm] entfernt). Wir hätten uns aber von 0° aus, auch gegen den Uhrzeigensinn bewegen können. Dann hätten wir zunächst 180° zurückgelegt und dann noch 60 dazu. Sinus ist ja immer Gegenkathete zur Hypothenuse und hier ist die Gegenkathete negativ. Wir haben also [mm] $-\sin\left(60^{\circ}\right)$ [/mm] zu berechnen. Stellt man sich jetzt noch ein gleichseitiges Dreieck vor, sollte sich das leicht berechnen lassen.
> sin (-1200°) = sin (1080° + 120°) = sin 120°
Es gilt: [mm] $\sin\left(-1200^{\circ}\right) [/mm] = [mm] \sin\left(-1080^{\circ}-120^{\circ}\right) [/mm] = [mm] \sin\left(-120^{\circ}\right)$.
[/mm]
> = - sin (180° - 60°) = sin (180° + 60°)
> = - sin (0° + 60°) = sin (0° - 60°)
> = - sin 60° = - [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Frage 1.1) beim schritt: = - sin (0° + 60°) = sin (0° -
> 60°)
> falls das richtig sein sollte, warum dann hier:- sin (0° +
> 60°) : zuerst minus und dann +, bei 0 ist ja Punktsymetrie,
> und für Punktsymetrie heißt ja eigentlich die Formel : "
> sin ( k x [mm]\pi[/mm] + x ) = - sin ( k x [mm]\pi[/mm] - x)
>
> aber bei einigen Aufgaben ist das vertauscht?
Ich stelle mir das Minus wie eine Richtungsanweisung für die Bewegungsrichtung am Einheitskreis vor.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nachtwanderer!
> warum dann hier:- sin (0° + 60°) :
> zuerst minus und dann +, bei 0 ist ja Punktsymetrie,
> und für Punktsymetrie heißt ja eigentlich die Formel : "
> sin ( k x [mm]\pi[/mm] + x ) = - sin ( k x [mm]\pi[/mm] - x)
Hier steckt die allgemeine Formel für Punktsymmetrie zum Ursprung drin:
$f(-x) \ = \ - f(x)$
Dies wenden wir auf die sinus-Funktion an:
$f(-x) \ = \ [mm] \sin\left[k_1 * \pi + (-x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \sin\left[- (-k_1 * \pi + x)\right] \underbrace{\ = \ }_{Punktsymmetrie} [/mm] - [mm] \sin\left(k_2 * \pi + x\right) [/mm] \ = \ - f(x)$
mit [mm] $k_2 [/mm] \ := \ - [mm] k_1$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Also wäre nett, wenn ihr sagen würdet , ob die Aufgabe richtig ist, die ich zuerst gefragt habe.
Aufg. Bestimme [mm] \alpha [/mm] mit 0° < [mm] \alpha [/mm] < 360°
cos [mm] \alpha [/mm] = 0,8 => [mm] \alpha [/mm] 1 = 36,9°
cos 63,9° = - cos (90° - 53,1°)
= cos (90° + 53,1°)
= cos 143,1°
= [mm] \alpha [/mm] 2= 143,1°
ist diese Aufgabe richtig, habe sie nämlich selbst ausgedacht zur Übung.
2)
wenn z.b. ... = cos (90° + 75°) = - cos (90° - 75°) steht, dann ist doch das Endergebnis immer negativ, also - cos15°
oder cos (90° + 50°) = - cos (90° - 50°) ist doch gleich: - cos 40°
also doch bestimmt negativ, stimmt das???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Sa 16.04.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
also die Aufgabe 2 ist richtig, da der cos zwischen 0° und 90° und zwischen 270° und 360° immer positiv ist. Du musst dir einfach nur darüber im klaren sein, in welchem Quadranten du dich befindest, dann ist es kein Problem.
Die erste Aufgabe stimmt nicht bis auf die erste Zeile, aber ich glaube da hast du dich nur verrechnet. cos 63,9° = cos(360° - 63,9°) = cos 296,1°
Also der erste Winkel ist 63,9° und der zweite passende dazu ist 296,1°.
Hoffe ich konnte helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 So 17.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Nachtwandler
ich habe doch noch eine Bemerkung zu Aufgabe 1.
>
> Bestimme [mm]\alpha[/mm] mit 0° _< [mm]\alpha[/mm] _< 90°
> Aufgabe 1)
>
> sin (-1200°) = sin [mm]\alpha[/mm]
>
Hier ist ja nicht der Sinus des Winkels gesucht, sondern nur der Winkel selber! Deine Überlegung war ganz richtig, wenn auch mit einem Vorzeichenfehler behaftet!
Wie du richtig gerechnet hat, darf man eine beliebige Anzahl von 360° zum Winkel addieren, und der Sinus ändert sich nicht. Dabei wird die Periodizität der Sinusfunktion ausgenützt.
Ich würde also zunächst einfach soviel mal 360° addieren, bis der Winkel positiv wird:
[mm] $\sin (-1200°)=\sin (-1200°+4*360°)=\sin [/mm] (240°)$
Wie Karl Pech richtig bemerkt hat, [mm] $\sin [/mm] (240°)$ negativ.
Da aber der Sinus von Winkeln zwischen 0° und 90° zwischen null und eins liegt, gibt es keinen Winkel zwischen 0° und 90°, der die Bedingung erfüllt. Die Lösungsmenge ist also leer! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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