Sym. Bernoulli Irrfahrt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien a, b [mm] \in \IN [/mm] .Zeigen Sie : Die Ruinwahrscheinlichkeit bei der in Null gestarteten und durch (-a) und b beschränkten symmetrischen Bernoulli - Irrfahrt ist [mm] \bruch{b}{b+a} [/mm] . |
Hallo liebe Mathe-freunde,
Ich habe alle meine Ideen bezüglich dieser Aufgabe erschöpft. Dazu brauche ich eure Hilfe.
Die symmetrischen Bernoulli - Irrfahrt ist definiert durch:
[mm] (Y_{j})_{j \in \IN} [/mm] iid mit
[mm] P({Y_{1} = 1}) [/mm] = [mm] P({Y_{1} =-1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] .
[mm] S_{t} [/mm] := [mm] \summe_{j=1}^{t} Y_{j} [/mm] ist die akkumulierte Gewinn nach t Runden.
Ziel sei die Vermehrung eines Startkapitals a [mm] \in \IN [/mm] um einen Betrag b [mm] \in \IN [/mm] . Die Spieldauer
wird dann beschrieben durch
[mm] \tau( \omega) [/mm] := inf{ t [mm] \in \IN [/mm] : [mm] S_{t}( \omega) [/mm] = -a oder [mm] S_{t}( \omega) [/mm] = b } .
Die gesuchte Ruinwahrscheinlichkeit ist damit definiert als :
r(a,b) := P({ [mm] \omega \in \Omega [/mm] : [mm] \tau [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] S_{\tau( \omega)} [/mm] = -a })
oder für X := [mm] 1_{ { \tau < \infty } \cap { S_{ \tau} = -a } } [/mm]
P({ X = 1 }) = ?
Ich kann nur zeigen, dass P({ [mm] \tau [/mm] < [mm] \infty [/mm] }) = 1 . Für den Rest habe ich keine Idee.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Mi 11.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
der Sachverhalt lässt sich als Markovkette darstellen, von einem Zustand in [mm] S_t [/mm] gehts mit Wkeit 1/2 um eins runter und mit Wkeit 1/2 um eins hoch und dann sind die Wkeiten dass der Zustand gleichbleibt oder einen anderen Wert als eins weniger / mehr annimmt natürlich 0.
Jetzt musst du dir überlegen wie wahrscheinlich dass es ist, dass diese Markovkette irgendwann im Zustand -a landet, wenn im Zustand 0 gestartet wird.
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 12.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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