Sylowgruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Wie viele 2-Sylowgruppen besitzt [mm] S_5?
[/mm]
Hinweis: Wägen Sie die Anzahl der 2-Sylowgruppen ab gegen die Anzahl von Elementen von 2-Potenzordnung in [mm] S_5. [/mm] |
Was mir klar ist, ist:
[mm] |S_5|=120=2^3\cdot 3\cdot [/mm] 5
[mm] s_2\equiv [/mm] 1mod 2, [mm] s_2 [/mm] | 15 [mm] \Rightarrow s_2\in\{1,3,5,15\}
[/mm]
Nun muss ich irgendwie rausfinden, welche Anzahl es denn nun ist...
Dafür braucht man wohl den Hinweis aus der Aufgabenstellung.
Anzahl von Elemente von 2-Potenzordnung in [mm] S_5, [/mm] damit sind wohl die Elemente [mm] \sigma\in S_5 [/mm] gemeint, für die gilt:
[mm] |\sigma|=|<\sigma>|=2^{\alpha} [/mm] für ein [mm] \alpha\in \IN
[/mm]
Ich komm damit nicht klar, wer kann mir helfen diese Aufgabe zu lösen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Im Skript habe ich folgenden Satz gefunden:
Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G ist genau dann einep-Gruppe, wenn die Ordnung von jedem Element in G eine Potenz von p ist.
Deswegen soll man wahrscheinlich die möglichen Anzahlen der 2-Sylowgruppen abwägen gegen die Anzahl der Elemente von 2-Potenzordnung.
---------------------------
Ich habe mir jetzt mal überlegt, welche Zykeltypen in [mm] S_5 [/mm] vorkommen können und mir dazu die Ordnungen und die Anzahlen versucht zu berechnen:
1. Typ:
id, Ordnung 1, Anzahl 1 (Ordnung ist 2er Potenz, [mm] 2^0)
[/mm]
2. Typ:
(ab), Ordnung 2, Anzahl [mm] \vektor{5 \\ 2}=10 [/mm] (Ordnung ist 2er Potenz, nämlich [mm] 2^1)
[/mm]
3. Typ:
(ab)(cd), Ordnung 2, Anzahl [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 2}\vektor{3 \\ 2}}{2}=15 [/mm] (Ordnung ist 2er Potenz, nämlich [mm] 2^1)
[/mm]
4. Typ:
(abc), Ordnung 3, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er Potenz)
5. Typ:
(abcd), Ordnung 4, Anzahl 30 (Ordnung ist 2er Potenz, nämlich [mm] 2^2)
[/mm]
6. Typ:
(abcde), Ordnung 5, Anzahl 24 (Ordnung ist keine 2er Potenz)
7. Typ:
(abc)(de), Ordnung 6, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er Potenz)
Somit komme ich, wenn ich alle Elemente zusammenzähle, die 2er Potenzordnung haben, auf 1+15+30=46
Nun muss ja, wegen [mm] 2^3=8 [/mm] jede 2-Sylowgruppe aus 8 Elementen bestehen und ich würde jetzt sagen, da 46/8=5.75 ist, muss die Anzahl jedenfalls größer als 5 sein und deswegen kommt wohl nur 15 in Frage...
Ich hoffe, ich habe jetzt keinen absoluten Blödsinn produziert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Im Skript habe ich folgenden Satz gefunden:
> Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G ist genau dann
> einep-Gruppe, wenn die Ordnung von jedem Element in G eine
> Potenz von p ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Deswegen soll man wahrscheinlich die möglichen Anzahlen
> der 2-Sylowgruppen abwägen gegen die Anzahl der Elemente
> von 2-Potenzordnung.
Genau.
> ---------------------------
>
> Ich habe mir jetzt mal überlegt, welche Zykeltypen in [mm]S_5[/mm]
> vorkommen können und mir dazu die Ordnungen und die
> Anzahlen versucht zu berechnen:
>
> 1. Typ:
> id, Ordnung 1, Anzahl 1 (Ordnung ist 2er Potenz, [mm]2^0)[/mm]
>
> 2. Typ:
> (ab), Ordnung 2, Anzahl [mm]\vektor{5 \\ 2}=10[/mm] (Ordnung ist
> 2er Potenz, nämlich [mm]2^1)[/mm]
>
> 3. Typ:
> (ab)(cd), Ordnung 2, Anzahl [mm]\bruch{\vektor{5 \\ 2}\vektor{3 \\ 2}}{2}=15[/mm]
> (Ordnung ist 2er Potenz, nämlich [mm]2^1)[/mm]
>
> 4. Typ:
> (abc), Ordnung 3, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er
> Potenz)
>
> 5. Typ:
> (abcd), Ordnung 4, Anzahl 30 (Ordnung ist 2er Potenz,
> nämlich [mm]2^2)[/mm]
>
> 6. Typ:
> (abcde), Ordnung 5, Anzahl 24 (Ordnung ist keine 2er
> Potenz)
>
> 7. Typ:
> (abc)(de), Ordnung 6, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er
> Potenz)
>
> Somit komme ich, wenn ich alle Elemente zusammenzähle, die
> 2er Potenzordnung haben, auf 1+15+30=46
Sieht gut aus soweit.
> Nun muss ja, wegen [mm]2^3=8[/mm] jede 2-Sylowgruppe aus 8 Elementen
> bestehen und ich würde jetzt sagen, da 46/8=5.75 ist, muss
> die Anzahl jedenfalls größer als 5 sein und deswegen
> kommt wohl nur 15 in Frage...
Du bekommst eine bessere untere Schranke durch $(46 - 1) / (8 - 1) [mm] \approx [/mm] 6.43$, da alle 2-Sylowgruppen mindestens das Element $id$ gemeinsam haben.
> Ich hoffe, ich habe jetzt keinen absoluten Blödsinn
> produziert.
Nein, du hast die Aufgabe geloest :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Im Skript habe ich folgenden Satz gefunden:
> Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G ist genau dann
> einep-Gruppe, wenn die Ordnung von jedem Element in G eine
> Potenz von p ist.
>
> Deswegen soll man wahrscheinlich die möglichen Anzahlen
> der 2-Sylowgruppen abwägen gegen die Anzahl der Elemente
> von 2-Potenzordnung.
>
> ---------------------------
>
> Ich habe mir jetzt mal überlegt, welche Zykeltypen in [mm]S_5[/mm]
> vorkommen können und mir dazu die Ordnungen und die
> Anzahlen versucht zu berechnen:
So hätte ich das auch gemacht.
> 1. Typ:
> id, Ordnung 1, Anzahl 1 (Ordnung ist 2er Potenz, [mm]2^0)[/mm]
>
> 2. Typ:
> (ab), Ordnung 2, Anzahl [mm]\vektor{5 \\ 2}=10[/mm] (Ordnung ist
> 2er Potenz, nämlich [mm]2^1)[/mm]
>
> 3. Typ:
> (ab)(cd), Ordnung 2, Anzahl [mm]\bruch{\vektor{5 \\ 2}\vektor{3 \\ 2}}{2}=15[/mm]
> (Ordnung ist 2er Potenz, nämlich [mm]2^1)[/mm]
>
> 4. Typ:
> (abc), Ordnung 3, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er
> Potenz)
>
> 5. Typ:
> (abcd), Ordnung 4, Anzahl 30 (Ordnung ist 2er Potenz,
> nämlich [mm]2^2)[/mm]
>
> 6. Typ:
> (abcde), Ordnung 5, Anzahl 24 (Ordnung ist keine 2er
> Potenz)
>
> 7. Typ:
> (abc)(de), Ordnung 6, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er
> Potenz)
>
> Somit komme ich, wenn ich alle Elemente zusammenzähle, die
> 2er Potenzordnung haben, auf 1+15+30=46
>
> Nun muss ja, wegen [mm]2^3=8[/mm] jede 2-Sylowgruppe aus 8 Elementen
> bestehen und ich würde jetzt sagen, da 46/8=5.75 ist, muss
> die Anzahl jedenfalls größer als 5 sein und deswegen
> kommt wohl nur 15 in Frage...
Es ist noch schlimmer wegen der id. Du verteilst 45 Elemente auf 7er-Mengen, das ergibt 6,..
> Ich hoffe, ich habe jetzt keinen absoluten Blödsinn
> produziert.
Überhaupt nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Dieter,
> Es ist noch schlimmer wegen der id. Du verteilst 45
> Elemente auf 7er-Mengen, das ergibt 6,..
da haben wir genau das gleiche gedacht 
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich bedanke mich sehr herzlich bei Euch!
Endlich mal ein kleines Erfolgserlebnis...
|
|
|
|
