Surjektive und injektive Abb. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 So 22.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | | Seien A, B Mengen, B [mm] \not= [/mm] 0! genau dann gibt es eine surketive Abbildung von A auf B, wenn es eine injektive Abbildung von B in A |
Hallo,morgen steht meine Klausur auf und ich habe nun erfahren, das wir diese Aufgabe auch können müssen. Ich hoffe mir kann jemand heute das letzte Mal schnell helfen. Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 22.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ok, wenn die Klausur so nah ist, will ich mal ausnahmsweise eine komplette Lösung posten, damit du den Kopf frei hast für alles andere.
also, es sind zwei Richtungen zu zeigen:
1) angenommen es gibt eine surjektive Abbildung von A nach B, dann hat jedes Element b aus B ein Urbild [mm] $f^{-1}(b)$ [/mm] in A, also ordne jedem Element b aus B ein (beliebiges) Element aus [mm] $f^{-1}(b)$ [/mm] zu.
(warum haben jetzt zwei vesch. Elemente [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] auch unterschiedliche Bilder?)
2) angenommen es gibt eine injektive Abbildung g von B nach A, dann ist diese bijektiv von B nach g(B)=Bild(g)
setze f(a)=b' (beliebig, aber konstant), wenn a nicht im Bild(g) ist und sonst [mm] $f(a)=g^{-1}(a)$
[/mm]
(warum wird nun jedes b aus B getroffen?)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 22.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
danke schön! ist das nun die ganze lösung? oder wieso hast du das noch in klammern geschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 22.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
naja, ein winziger teil fehlt jeweils noch, wenn man ein vollständige Antwort haben will - aber die Beantwortung der Fragen, die in Klammern stehen, sollte nicht so schwer fallen, wenn man die Sätze davor verinnerlicht hat, oder?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 22.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
naja,also das einzige was ich darüber gehört oder gelesen habe, steht bei wikipedia und bei uns im skript, aba das versteh ich nicht so ganz richtig. also was das bedeutet versteh ich wohl,aba anwenden kann ich das nicht. kannst du mir das mit den klammern nochmal ausnahmsweise zeigen??bitte bitte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:58 Mo 23.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also dann nochmal schnell die Fragen in den Klammern:
zu 1)
also zwei unterschiedliche [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] können nur dann das gleiche Bild haben (bei der Abbildung wie oben definiert), wenn sich [mm] $f^{-1}(b_1)$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(b_2)$ [/mm] schneiden.
Aber wenn wenn sie dies tun, so muss schon [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] gleich sein, was ein Widerspruch ist.
zu 2) jedes b aus B wird von a:=g(b) getroffen (und g war bijektiv auf Bild(g)), denn [mm] f(a)=g^{-1}(a)=b
[/mm]
viele Grüße und viel Erfolg bei deiner Prüfung
DaMenge
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