Supremum und Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] M_{2}={ (-1)^{n} + sin \bruch{n \pi }{4} : n \in \IN } [/mm] |
Hallo!
Kann mir evtl. jemand erklären, wie ich Supremum und Infimum vom Mengen bestimme?
Also z.B. für die oben angegebene Menge.
Weiß leider gar nicht, was ich da machen muss, um das herauszufinden. :(
Danke schonmal!
LG, Jennymaus
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Hi Jennymaus
Ich bin mir nicht sicher, warum du das mit den Mengen so betonst, sieht doch genau aus wie eine Funktion oder?
Deswegen würde ich da genau rangehen wie immer; und zwar mit bildlicher Vorstellungskraft:
Der sin von egal was ist höchstens 1 und wenistens -1.
Diese Extremwerte werden aber immer nur für gerade n erreicht, da das Argument des sin in [mm] \pi/4 [/mm] -Schritten größer wird und für alle ungerade n [mm] \pi/4, 3/4\pi, 5/4\pi [/mm] usw. ist.
[Um sich das klar zu machen hilft es, sich die ganz normale sinx Funktion aufzuzeichnen]
[mm] (-1)^n [/mm] wird je nachdem ob n gerade oder ungerade ist entweder 1 oder -1.
Da wir also beide größtmöglichen Werte der Summanden kennen, wissen wir bereits dass der größte Wert 1+1=2 ist. Dies ist also das Supremum, welches auch angenommen wird.
Zum Infimum: Der kleinstmögliche Wert für [mm] sin(n*\pi/4) [/mm] ist (--> einfach auf die Kurve gucken) zum Beispiel bei [mm] x=5/4\pi [/mm] (auch bei [mm] 7/4\pi) [/mm] und hat den Funktionswert [mm] -1/\wurzel{2}.
[/mm]
Diesen Wert Plus -1 gibt das Infimum -1-1/ [mm] \wurzel{2}, [/mm] was ich jetzt ganz frech einfach mal so stehen lasse.
Zu dieser Mengensache: ich glaube, man muss da nicht so nen Unterschied machen, weil ne Funktion ja auch nix anderes ist, als eine Menge von Punkten, deren Werte halt von einer Variable abhängen.
In unserm Fall ist die Variable n nicht durchgängig auf [mm] \IR [/mm] definiert wie das bei x ist, sondern läuft nur in einser-Schritten vorwärts.
Hoffe das hört sich logisch an.
MabelLeaf
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