Supremum in R < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Menge an, die eine reelle Zahl als Supremum hat |
Hallo zusammen,
ich habe mir folgendes dazu gedacht, weiß aber nicht, ob ich das so beweisen kann.
Also, sei [mm] M=\{x|x^2<2\} [/mm] und [mm] M\subseteq\IR
[/mm]
Behauptung: [mm] \wurzel{2} [/mm] ist sup M =: s
zu zeigen:
1) s ist obere Schranke, d.h. für alle [mm] x\in [/mm] M gilt, [mm] x\le [/mm] s
2) Für alle oberen Schranken a gilt, [mm] s\le [/mm] a
zu 1) Sei [mm] x\in [/mm] M, dann gilt [mm] x^2<2 \gdw |x|<\wurzel{2} \Rightarrow |x|\le [/mm] s
zu 2) Sei a eine beliebige obere Schranke von M, d.h
[mm] \forall x\in M:a\ge [/mm] x
Annahme: [mm] a\le [/mm] s. Dann gibt es aber ein [mm] x_1\in [/mm] M mit [mm] \bruch{a+\wurzel{2}}{2}=x_1, [/mm] d.h. [mm] x_1>a [/mm] (Widerspruch)
Kann ich das so machen, oder habe ich da einen Fehler eingebaut ?
Liebe Grüße,
die Ferolei
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 19.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie eine Menge an, die eine reelle Zahl als Supremum
> hat
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir folgendes dazu gedacht, weiß aber nicht, ob
> ich das so beweisen kann.
>
> Also, sei [mm]M=\{x|x^2<2\}[/mm] und [mm]M\subseteq\IR[/mm]
>
> Behauptung: [mm]\wurzel{2}[/mm] ist sup M =: s
>
> zu zeigen:
> 1) s ist obere Schranke, d.h. für alle [mm]x\in[/mm] M gilt, [mm]x\le[/mm]
> s
> 2) Für alle oberen Schranken a gilt, [mm]s\le[/mm] a
>
> zu 1) Sei [mm]x\in[/mm] M, dann gilt [mm]x^2<2 \gdw |x|<\wurzel{2} \Rightarrow |x|\le[/mm] s
Hier solltest Du noch ergänzen: dann ist $x [mm] \le [/mm] |x| [mm] \le [/mm] s$, also x [mm] \le [/mm] s
>
> zu 2) Sei a eine beliebige obere Schranke von M, d.h
> [mm]\forall x\in M:a\ge[/mm] x
> Annahme: [mm]a\le[/mm] s.
Das wirst Du nicht zum Widerspruch bringen können !
Besser: Annahme: a< [mm] \wurzel{2}
[/mm]
> Dann gibt es aber ein [mm]x_1\in[/mm] M mit
> [mm]\bruch{a+\wurzel{2}}{2}=x_1,[/mm] d.h. [mm]x_1>a[/mm] (Widerspruch)
Begründe noch warum [mm] x_1 \in [/mm] M und warum [mm]x_1>a[/mm]
FRED
>
>
> Kann ich das so machen, oder habe ich da einen Fehler
> eingebaut ?
>
> Liebe Grüße,
>
> die Ferolei
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:46 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
> > Geben Sie eine Menge an, die eine reelle Zahl als Supremum
> > hat
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich habe mir folgendes dazu gedacht, weiß aber nicht, ob
> > ich das so beweisen kann.
> >
> > Also, sei [mm]M=\{x|x^2<2\}[/mm] und [mm]M\subseteq\IR[/mm]
> >
> > Behauptung: [mm]\wurzel{2}[/mm] ist sup M =: s
> >
> > zu zeigen:
> > 1) s ist obere Schranke, d.h. für alle [mm]x\in[/mm] M gilt,
> [mm]x\le[/mm]
> > s
> > 2) Für alle oberen Schranken a gilt, [mm]s\le[/mm] a
> >
> > zu 1) Sei [mm]x\in[/mm] M, dann gilt [mm]x^2<2 \gdw |x|<\wurzel{2} \Rightarrow |x|\le[/mm]
> s
>
>
> Hier solltest Du noch ergänzen: dann ist [mm]x \le |x| \le s[/mm],
> also x [mm]\le[/mm] s
>
>
> >
> > zu 2) Sei a eine beliebige obere Schranke von M, d.h
> > [mm]\forall x\in M:a\ge[/mm] x
> > Annahme: [mm]a\le[/mm] s.
>
> Das wirst Du nicht zum Widerspruch bringen können !
>
> Besser: Annahme: a< [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
>
>
> > Dann gibt es aber ein [mm]x_1\in[/mm] M mit
> > [mm]\bruch{a+\wurzel{2}}{2}=x_1,[/mm] d.h. [mm]x_1>a[/mm] (Widerspruch)
>
>
> Begründe noch warum [mm]x_1 \in[/mm] M und warum [mm]x_1>a[/mm]
>
>
Hallo,
wie meinste das ? [mm] x_1 [/mm] muss Element der Menge M sein, weil es der arithmetische Mittelwert von a und [mm] \wurzel{2} [/mm] ist, d.h. [mm] x_1 [/mm] liegt genau dazwischen, es sei denn, [mm] a=\wurzel{2} [/mm] und die gleiche Begründung ja auch dafür, dass [mm] x_1>a [/mm] sein muss, wenn [mm] a\not= x_1 [/mm] ist.
Oder was meinst du ?
> FRED
> >
> >
> > Kann ich das so machen, oder habe ich da einen Fehler
> > eingebaut ?
> >
> > Liebe Grüße,
> >
> > die Ferolei
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 21.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Fr 19.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Geben Sie eine Menge an, die eine reelle Zahl als Supremum
> hat
Bist du sicher, dass das die originale (unverfälschte) Aufgabenstellung ist?
So lange du nicht in den Bereich der komplexen Zahlen gehst, ist jede Zahl reell.
Somit besitzt jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen obere Schranken (die reelle Zahlen sind). Eine der oberen Schranken ist die kleinste aller oberen Schranken (also das Supremum).
Nimm z.B. als Menge das Intervall der Zahlen von 0,2 bis 0,4.
Die Zahl 0,4 ist kleinste obere Schranke, und 0,4 ist auch eine reelle Zahl.
Gruß Abakus
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir folgendes dazu gedacht, weiß aber nicht, ob
> ich das so beweisen kann.
>
> Also, sei [mm]M=\{x|x^2<2\}[/mm] und [mm]M\subseteq\IR[/mm]
>
> Behauptung: [mm]\wurzel{2}[/mm] ist sup M =: s
>
> zu zeigen:
> 1) s ist obere Schranke, d.h. für alle [mm]x\in[/mm] M gilt, [mm]x\le[/mm]
> s
> 2) Für alle oberen Schranken a gilt, [mm]s\le[/mm] a
>
> zu 1) Sei [mm]x\in[/mm] M, dann gilt [mm]x^2<2 \gdw |x|<\wurzel{2} \Rightarrow |x|\le[/mm]
> s
>
> zu 2) Sei a eine beliebige obere Schranke von M, d.h
> [mm]\forall x\in M:a\ge[/mm] x
> Annahme: [mm]a\le[/mm] s. Dann gibt es aber ein [mm]x_1\in[/mm] M mit
> [mm]\bruch{a+\wurzel{2}}{2}=x_1,[/mm] d.h. [mm]x_1>a[/mm] (Widerspruch)
>
>
> Kann ich das so machen, oder habe ich da einen Fehler
> eingebaut ?
>
> Liebe Grüße,
>
> die Ferolei
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Also wir sind in der Vorlesung immer in den reellen Zahlen geblieben.
Das ist wohl eine Prüfungsfrage von jemanden aus der mündlichen Zwischenprüfung gewesen. Ob es wortwörtlich so gefragt wurde, kann ich nicht sagen. Ich vermute mal, dass das Suprem viell. in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] liegen sollte oder so... ich weiß es aber nicht genau.
lG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Fr 19.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Also wir sind in der Vorlesung immer in den reellen Zahlen
> geblieben.
> Das ist wohl eine Prüfungsfrage von jemanden aus der
> mündlichen Zwischenprüfung gewesen. Ob es wortwörtlich
> so gefragt wurde, kann ich nicht sagen. Ich vermute mal,
> dass das Suprem viell. in
> [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] liegen sollte oder so... ich weiß es aber nicht
> genau.
Dann hätte ich als Lösung die Menge M= [mm] \{ \wurzel7 \} [/mm] anzubieten.
Sie nur ein Element und [mm] \wurzel7 [/mm] als Supremum.
>
> lG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Habe noch eine Frage zur Aufgabenstellung.
Darf man in solch einem Fall auch Intervalle angeben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Fr 19.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Habe noch eine Frage zur Aufgabenstellung.
Die immer noch komisch ist.
> Darf man in solch einem Fall auch Intervalle angeben?
Ein Intervall ist eine Menge.
SEcki
|
|
|
|
