Supremum der Schnittmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 07.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Leute, nächste Woche ist Analysis I - Prüfung und ich bemühe mich, noch einige Aufgaben zu rechnen. Leider ohne vorliegende Lösung, weshalb es cool wäre, wenn mich jemand sofern nötig korrigieren könnte:
zu zeigen: für M [mm] \cap [/mm] N [mm] \not= \emptyset [/mm] ist sup{M [mm] \cap [/mm] N } [mm] \le [/mm] min{sup M, sup N}
meine Idee:
1. Fall: sup M > sup N
Dann existiert ein [mm] x_{0}\in [/mm] M mit [mm] x_{0}>x [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] N.
Dann ist [mm] x_{0} [/mm] obere Schranke von N, also gilt sup M [mm] \ge x_{0} [/mm] > sup N.
Es gibt also Elemente [mm] x_{0}, [/mm] die in M, nicht aber in N liegen. Da M [mm] \cap [/mm] N [mm] \not= \emptyset [/mm] gilt dann:
sup [mm] M\gex_{0}>supN\gex [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N.
Dann gilt für jene x: [mm] x\le [/mm] sup (M [mm] \cap [/mm] N) = sup N
Analog mach ich das für den zweiten Fall: Sup N < Sup M
und der dritte Fall M=N ist ja trivial.
Ist das so in etwa richtig gedacht??
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Leute, nächste Woche ist Analysis I - Prüfung und ich
> bemühe mich, noch einige Aufgaben zu rechnen. Leider ohne
> vorliegende Lösung, weshalb es cool wäre, wenn mich
> jemand sofern nötig korrigieren könnte:
>
> zu zeigen: für M [mm]\cap[/mm] N [mm]\not= \emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist sup{M [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N
> } [mm]\le[/mm] min{sup M, sup N}
>
> meine Idee:
> 1. Fall: sup M > sup N
> Dann existiert ein [mm]x_{0}\in[/mm] M mit [mm]x_{0}>x[/mm] für alle x [mm]\in[/mm]
> N.
> Dann ist [mm]x_{0}[/mm] obere Schranke von N, also gilt sup M [mm]\ge x_{0}[/mm]
> > sup N.
> Es gibt also Elemente [mm]x_{0},[/mm] die in M, nicht aber in N
> liegen. Da M [mm]\cap[/mm] N [mm]\not= \emptyset[/mm] gilt dann:
> sup [mm]M\gex_{0}>supN\gex[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] N.
Das verstehe ich nicht !!!
> Dann gilt für jene x: [mm]x\le[/mm] sup (M [mm]\cap[/mm] N) = sup N
>
> Analog mach ich das für den zweiten Fall: Sup N < Sup M
> und der dritte Fall M=N ist ja trivial.
>
>
> Ist das so in etwa richtig gedacht??
Es ist sehr undurchsichtig !!
Wir setzen s:= min{sup M, sup N}
Du mußt doch nur zeigen, dass s eine obere Schranke von M [mm] \cap [/mm] N ist.
Denn dann ist sup( M [mm] \cap [/mm] N ) [mm] \le [/mm] s
Sei also x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N . Dann ist x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \in [/mm] N, also ist
x [mm] \le [/mm] sup M und x [mm] \le [/mm] sup N.
Damit ist x [mm] \le [/mm] s.
FRED
>
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Do 07.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Fred, danke Dir!
Das ist ja fast ein Zweizeiler :(
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