Summierbarkeit von Familien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Di 08.12.2015 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Familien summierbar sind, und berechnen Sie deren Summe.
a) [mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3^{i}4^{j}} [/mm] für i,j [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
b) [mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i!2^j} [/mm] für i,j [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
c) [mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] \vektor{j \\ i}x^{i}y^{j-i} [/mm] für i,j [mm] \in \IN_{0} [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] j (mit x,y [mm] \in \IR, [/mm] |x|,|y| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] fest) |
So, ich wollte eigentlich nur um Hilfestellung und Verbesserung bitten. Zum einen soll ich zeigen, dass sie summierbar sind. Um das zu zeigen muss ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 exisiteren für das es immer eine Teilmenge gibt. Also:
[mm] J_{0} \subset [/mm] J [mm] \Rightarrow |a_{i,j}-s| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
a) [mm] \IN_{0} \subset \IN \Rightarrow |\bruch{1}{3^{i}4^{j}}-s| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] \summe_{i,j=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{i}4^{j}} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{i}}*\summe_{j=0}^{\infty} \bruch{1}{4^{j}} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{i}}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}*\bruch{4}{3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*\bruch{4}{3} [/mm] = 2
b) [mm] \IN_{0} \subset \IN \Rightarrow |\bruch{1}{i!2^{j}}-s| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] \summe_{i,j=0}^{\infty} \bruch{1}{i!2^{j}} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{i!}*\summe_{j=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{j}} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{i!}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = 2*e
c) [mm] \IN_{0} \subset \IN \Rightarrow |\vektor{j \\ i}x^{i}y^{j-i}-s| [/mm] = [mm] |(x+y)^{n}-s| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] \summe_{i,j=0}^{\infty}\vektor{j \\ i}x^{i}y^{j-i} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(x+y)^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{x+y}} [/mm] = [mm] \bruch{x+y}{1-x+y} [/mm]
Bei der c) komme ich aber nicht weiter. Sollte ich es doch anders trennen, also die Summen der Produkte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 08.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die folgende Familien summierbar sind, und
> berechnen Sie deren Summe.
>
> a) [mm]a_{i,j}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3^{i}4^{j}}[/mm] für i,j [mm]\in \IN_{0}[/mm]
>
> b) [mm]a_{i,j}[/mm] = [mm]\bruch{1}{i!2^j}[/mm] für i,j [mm]\in \IN_{0}[/mm]
>
> c) [mm]a_{i,j}[/mm] = [mm]\vektor{j \\ i}x^{i}y^{j-i}[/mm] für i,j [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> und 0 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] j (mit x,y [mm]\in \IR,[/mm] |x|,|y| < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> fest)
> So, ich wollte eigentlich nur um Hilfestellung und
> Verbesserung bitten. Zum einen soll ich zeigen, dass sie
> summierbar sind.
> Um das zu zeigen muss ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> exisiteren für das es immer eine Teilmenge gibt.
Aua ! Aua ! Du hast von der Def. nichts verstanden.
Sei I eine Indexmenge, [mm] (x_i)_{i \in I} [/mm] eine Familie von reellen Zahlen und x [mm] \in \IR.
[/mm]
Wir bezeichnen die endlichen Teilmengen von I mit [mm] \mathcal{E}. [/mm] Dann heißt [mm] (x_i)_{i \in I} [/mm] summierbar zum Wert x, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] E_0 \in \mathcal{E} [/mm] gibt mit
[mm] $|\summe_{i \in E}x_i-x|<\varepsilon$ [/mm] für alle $E [mm] \in \mathcal{E}$ [/mm] mit [mm] $E_0 \subseteq [/mm] E$.
> Also:
>
> [mm]J_{0} \subset[/mm] J [mm]\Rightarrow |a_{i,j}-s|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> a) [mm]\IN_{0} \subset \IN \Rightarrow |\bruch{1}{3^{i}4^{j}}-s|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
Unfug ! Hier ist [mm] $I=\IN_0 \times \IN_0$
[/mm]
>
> [mm]a_{i,j}[/mm] =
Dieses "=" ist völlig falsch !
[mm]\summe_{i,j=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{i}4^{j}}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{i}}*\summe_{j=0}^{\infty} \bruch{1}{4^{j}}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{i}}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}*\bruch{4}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}*\bruch{4}{3}[/mm] = 2
Wende nun die obige Def. auf x=2 an.
>
> b) [mm]\IN_{0} \subset \IN \Rightarrow |\bruch{1}{i!2^{j}}-s|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]a_{i,j}[/mm] = [mm]\summe_{i,j=0}^{\infty} \bruch{1}{i!2^{j}}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{i!}*\summe_{j=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{j}}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{i!}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}[/mm]
> = 2*e
>
> c) [mm]\IN_{0} \subset \IN \Rightarrow |\vektor{j \\ i}x^{i}y^{j-i}-s|[/mm]
> = [mm]|(x+y)^{n}-s|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]a_{i,j}[/mm] = [mm]\summe_{i,j=0}^{\infty}\vektor{j \\ i}x^{i}y^{j-i}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(x+y)^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{x+y}}[/mm] = [mm]\bruch{x+y}{1-x+y}[/mm]
>
Gleiche Kritik wie oben.
FRED
> Bei der c) komme ich aber nicht weiter. Sollte ich es doch
> anders trennen, also die Summen der Produkte?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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