Summenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:41 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Casey16 |
| Aufgabe | Hallo!
Ich soll hier den Summenwert der unendlichen Reihe berechnen, nur ich verstehe das einfach nicht, ich finde allein das zeichen macht mir schon probleme. ich verstehe die ganzen zeichen oben und unten auch nicht. ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Aufgabe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] 1/ (3i-2)(3i+1)
Hilfe! |
wäre super wenn ihr mir helfen könntet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:31 Sa 03.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Casey
Erster Schritt: das produkt [mm] zerlegen:\bruch{1}{(3i-2)(3i+1)}=\bruch{A}{3i-1}+\bruch{B}{3i+1}
[/mm]
Wenn du das hast, schreib dir die ersten paar etwa bis i=3 oder 4 mal hin, dann siehst du, dass es eine sog. Teleskopsumme ist, also es hebt sich fast alles weg, bis auf den ersten und letzten Summanden. Und dann bist du schon fertig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 So 04.02.2007 | | Autor: | Casey16 |
okay ich hab das zerlegt dann muss ich für die i einfach 3,4,5 einsetzen?
also
3/ 3*3-1 + 3/3*3+1
4/3*4-1 + 4/3*4+1
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Casey!
Aus Deine antwort geht aber die entsprechende Partialbruchzerlegung nicht hervor. Hast Du diese denn auch durchgeführt?
[mm] $\bruch{1}{(3i-2)*(3i+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{3i-2}+\bruch{-\bruch{1}{3}}{3i+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(\bruch{1}{3i-2}-\bruch{1}{3i+1}\right)$
[/mm]
Und nun mal die ersten 4,5 Glieder einsetzen und untersuchen, welche Terme übrig bleiben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:08 So 04.02.2007 | | Autor: | Casey16 |
ehm ok ich probiers
[mm] s_n=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(3i-2)(3i+1)}= [/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{(3i-2)}-\bruch{1}{(3i+1)}=
[/mm]
1/3*(1-1/4)=1/4
1/3*(1/4-1/7)=1/28
1/3*(1/7-1/10)=1/70
1/3*(1/10-1/13)=1/130
ich hab die ersten 4 glieder i=1,2,3,4 eingesetzt und das rausbekommen, nur ich meinte irgendwas ist nicht richtig und irgendwo müsste doch was mit [mm] \limes_{n \to \infty}s_n [/mm] irgendwo stehen. :-( hilfeee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Casey!
Schreib' Dir das mal anders auf (Du brauchst dafür die einzelnen Summen / Differenzen gar nicht ausrechnen):
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(3i-2)*(3i+1)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{3}*\left(\bruch{1}{3i-2}-\bruch{1}{3i+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\summe_{i=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{3i-2}-\bruch{1}{3i+1}\right)$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left[\underbrace{\left(\bruch{1}{3*1-2}-\bruch{1}{3*1+1}\right)}_{i=1} + \underbrace{\left(\bruch{1}{3*2-2}-\bruch{1}{3*2+1}\right)}_{i=2} + \underbrace{\left(\bruch{1}{3*3-2}-\bruch{1}{3*3+1}\right)}_{i=3} + \underbrace{\left(\bruch{1}{3*4-2}-\bruch{1}{3*4+1}\right)}_{i=4}+ \ ... \ \right]$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left[\bruch{1}{1} \ \red{-\bruch{1}{4}} \ \red{ + \bruch{1}{4}} \ \blue{-\bruch{1}{7} + \bruch{1}{7}} \ \green{-\bruch{1}{10} +\bruch{1}{10}} \ - \bruch{1}{13} \ \pm \ ...\right]$
[/mm]
Und nun betrachte mal, was jeweils wegfällt bzw. ganz am Ende nur noch übrig bleibt. Das ist dann lediglich ein einziger Bruch in den eckigen Klammern.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 So 04.02.2007 | | Autor: | Casey16 |
das Einzige was in der eckigen Klammer übrig bleibt ist [mm] \bruch{1}{1} [/mm] und wenn man das mit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] multipliziert bleibt [mm] \bruch{1}{3} [/mm] übrig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Casey!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig.
Gruß
Loddar
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