Summenformel zur Exp.-Funktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Summenformel für :
[mm] e^z+e^{2z}+.....+e^{nz}= \summe_{k=1}^{n}e^{kz} [/mm] mit [mm] z\in\IC [/mm] fest. |
Ich habe da lange nachgegrübelt. Das beste was ich fertig gebracht war folgendes:
Ich habe erst einmal nur den Exponenten betrachtet, also:
[mm] z+2z+3z+4z+.....+nz=z(1+2+3+4+.....n)=z(\bruch{n(n+1}{2})
[/mm]
Aber dies ist natürlich falsch, weil es sich um Exponenten handelt und diese so nicht zusammenziehen darf.
Hat jemand eine Idee. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Wäre echt dankbar!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 29.12.2009 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
denke mal an eine geometrische Reihe!
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oh! wahr! hab ich gar nicht dran gedacht! werde mal jetzt dran weiterarbeiten. danke!
poste dann abends die lösung.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 So 03.01.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo zahllos,
arbeite auch gerade an dieser Aufgabe. Mir ist auch durch deinen Tipp weiterhin nicht ganz klar, wie ich vorgehen muss.
Folgendes habe ich bsiher auf die Beine gestellt:
[mm] \begin{matrix}
e^z + e^{2z} + \dots + e^{nz} &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(2z)^k}{k!} + \dots + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(nz)^k}{k!} \\
\ &=& \summe_{k=0}^{\infty} \left(\bruch{z^k}{k!} + \bruch{2^kz^k}{k!} + \dots +\bruch{n^kz^k}{k!}\right) \\
\ &=& \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}\cdot \summe_{i=1}^{n}i^k \\
\ &=& = \text{?}
\end{matrix}
[/mm]
Nun weiß ich leider nicht weiter. Ist der Ansatz überhaupt sinnvoll? Komme ich so zum Ziel?
Viele Grüße
Jakob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 So 03.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Hi Jakob, sei $a := [mm] e^{z}$ [/mm] dann lautet die Aufgabenstellung doch,
$a + [mm] a^2 [/mm] + ... + [mm] a^n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}a^i [/mm] = [mm] a\summe_{i=0}^{n-1}a^i$
[/mm]
umzuformen. Klingelt jetzt was bei "geometrische Reihe"? (bzw. einer Teilsumme davon)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 03.01.2010 | | Autor: | jboss |
Aha, Substitution also 
[mm]
a + a^2 + ... + a^n = \sum_{i=1}^{n}a^i = a\cdot \sum_{i=0}^{n-1}a^i = a\cdot \bruch{1-a^{(n-1)+1}}{1-a} = e^z \cdot \bruch{1-e^{zn}}{1-e^z} = \bruch{e^z - e^{z(n+1)}}{1-e^z}
[/mm]
Soweit ok? Damit wäre ich fertig oder?
Viele Grüße und danke für die schnelle Hilfe
Jakob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 03.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Ich persönlich finde die vorletzte Formel ästhetischer, aber Summa Summarum sieht es richtig aus. Ich weiss allerdings nicht genau, was in der Aufgabenstellung mit "Summenformel" gemeint ist, immerhin hat man ja quasi schon die Summe gegeben und schreibt jetzt den "flüssigeren" Ausdruck auf.
Übrigens dient die Substitution hier nur dazu, diese ablenkende Exponentialfunktion auszublenden, damit man das wesentliche sieht, sie selbst ist nicht relevant hier ^^;
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 So 03.01.2010 | | Autor: | jboss |
Nochmals ein herzliches dankeschön!
Bin ehrlich gesagt auch ein wenig überfragt, was genau mit "Summenformel" gemeint ist. Übrigens sollen wir auch noch die "Summenformeln" für Sinus und Cosinus bestimmen.
[mm]
\cos(x) + \cos(2x) + \dots + \cos(nx)
\sin(x) + \sin(2x) + \dots + \sin(nx)
[/mm]
Mit dem Resultat aus der obigen Aufgabe ist das ja leicht zu lösen, denn [mm] $\sin(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i}(e^{ix} [/mm] - [mm] e^{-ix})$ [/mm] und [mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}).
[/mm]
Viele Grüße
Jakob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 03.01.2010 | | Autor: | jboss |
Noch eine Frage. Mir ist da eben noch was aufgefallen. Was ist denn, wenn $z=0$ ist. Dafür ist [mm] $\summe_{k=1}^{n} e^{k\cdot z} [/mm] = n [mm] \cdot e^0 [/mm] = n$
Muss ich womöglich noch eine Fallunterscheidung machen? Die oben bestimmte "Summenformel" liefert für $z=0$ nämlich den Ausdruck [mm] "$\bruch{0}{0}$".
[/mm]
Viele Grüße
Jakob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob!
Nehmen wir mal obige Darstellung mit: [mm] $e^z \cdot \bruch{1-e^{z*n}}{1-e^z}$ [/mm] .
Der Bruch lässt sich mit Hilfe einer  Poloynomdivision darstellen als:
[mm] $$1+e^z+e^{2*z}+e^{3*z}+...+e^{(n-1)*z}$$
[/mm]
Und dies ergibt für $z \ = \ 0$ ebenfalls wieder:
$$1+1+1+1+...+1 \ = \ 1+(n-1)*1 \ = \ n$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 03.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Zur konvergenz:
Diese Reihe konvergiert nur wenn q bzw. a kleiner 1 ist (und auch nicht 1). Die Formel gilt für a [mm] \not= [/mm] 1.
Da a = [mm] e^z [/mm] ist heisst das z [mm] \in \IR^{-} [/mm] \ 0. Für z > 0 ist es ja klar, dass es nicht konvergiert...aber die Formel stimmt auch für q > 1. So etzt ists richtig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 04.01.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo zusammen,
in der ursprünglichen Frage war nur von einer Darstellung einer endlichen Summe als geschlossene Formel die Rede, diese hat jboss in seinem zweiten Beitrag angegeben. Wenn man sogar eine unendliche Reihe aufsummieren will, geht das natürlich nur, wenn
Re(z) < 0 d.h. [mm] |e^z| [/mm] < 1 ist.
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