Summenformel beweisen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Do 14.06.2007 | | Autor: | phrygian |
| Aufgabe | Using partial summation, show that
[mm] \summe_{n=1}^{N} n^{-3/4}=4*N^{1/4}+C+O(N^{-3/4})
[/mm]
for some constant [mm] C\in \IR.
[/mm]
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Hallo zusammen!
Ich habe bei dieser Aufgabe keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll. Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Gruß
Phrygian
P.S.: Ich habe diese Frage auch in http://www.nabble.com vor mehr als 4 Stunden gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Fr 15.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
betracht das mal als Ober - oder Untersumme, Schrittweite 1 von
[mm] \integral_{1}^{N}{x^{-3/4} dx}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Fr 15.06.2007 | | Autor: | phrygian |
Hallo leduart
vielen Dank für deinen Hinweis!
Es ist ja
$ [mm] \integral_{1}^{N}{x^{-3/4} dx} =4*x^{1/4}\mid_1^N=4*N^{1/4}-4$,
[/mm]
und außerdem ist
[mm] \summe_{i=1}^{N}{n^{-3/4}}<\integral_{1}^{N}{x^{-3/4} dx} [/mm] ,
aber ich sehe nicht, wie ich weitermachen soll...
Kannst du mir auf die Sprünge helfen?
Gruß, phrygian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Fr 15.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo leduart
>
> vielen Dank für deinen Hinweis!
>
> Es ist ja
> [mm]\integral_{1}^{N}{x^{-3/4} dx} =4*x^{1/4}\mid_1^N=4*N^{1/4}-4[/mm],
>
> und außerdem ist
> [mm]\summe_{i=1}^{N}{n^{-3/4}}<\integral_{1}^{N}{x^{-3/4} dx}[/mm]
das ist falsch, zeichne es Auf, dann siehst du dass es die Obersumme ist! denn [mm] x^{-3/4} [/mm] ist monoton fallend.wenn dus gezeichnet hast schreib noch die Untersumme hin, dann hast du ne Abschatzug, weil du die Differnzen zw. OS und US " nach hinten zusammenscheiben kannst! siehst du an ner Zeichnung leicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Fr 15.06.2007 | | Autor: | phrygian |
Ah ja, also
$ [mm] \summe_{i=1}^{N}{n^{-3/4}}>\integral_{1}^{N}{x^{-3/4} dx} [/mm] $
Die Untersumme wäre dann
$ [mm] \summe_{i=1}^{N}{(n+1)^{-3/4}}$,
[/mm]
oder?
Aber was meinst du mit "Differenzen nach hinten zusammenschieben"? Daß die Differenzen immer kleiner werden?
Was mir auch Mühe bereitet, ist die O-Notation.
Gruß, phrygian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Fr 15.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ah ja, also
>
> [mm]\summe_{i=1}^{N}{n^{-3/4}}>\integral_{1}^{N}{x^{-3/4} dx}[/mm]
nein Summe nur bis N-1
> Die Untersumme wäre dann
>
> [mm]\summe_{i=1}^{N}{(n+1)^{-3/4}}[/mm],
besser [mm]\summe_{i=2}^{N}{n^{-3/4}}[/mm]
> oder?
> Aber was meinst du mit "Differenzen nach hinten
> zusammenschieben"? Daß die Differenzen immer kleiner
> werden?
Ich meine in das erste (also linke-tut mit leid-) Rechteck zusammen schieben siehe Bild, die gesamte Differenz zw Ober und Untersumme ist das Rechteck von 1 bis 2 zwischen der grünen Linie, [mm] N^{-3/4} [/mm] und der Schwarzen. also [mm] 1*(1-N^{-3/4})
[/mm]
Damit ist das Integral eingeklemmt,
[Dateianhang nicht öffentlich]
also [mm]\summe_{i=2}^{N}{(n+1)^{-3/4}}<4N^{-1/4}-4<\summe_{i=1}^{N-1}{(n+1)^{-3/4}}[/mm]
wenn du die Summen vervollstandigst hast du damit ne Abschatzung nach unten und oben für die Summe.
Aber Achtung! das ist nicht die verlangte Methode der partial sums. mit denen bin ich zu wenig umgegangen, also guck dort noch nach!
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich glaube, du solltest dich zuerst mal mit der Methode der "partial summation" vertraut machen, da gibts nen Artikel zu in Wikipedia... da würde dir ermöglichen, die gegebene Reihe durch eine andere zu ersetzen und dabei könnten sich dann Restterme der Form O(..) ergeben, die genaue Bedeutung dieser Notation hab ich selbst vergessen, aber er sagt was über die Größenordnung aus, also O(n) wäre ein Term T, der höchstens so schnell groß wird wie n, präziser: wenn T/n für n gegen unendlich beschränkt bleibt..., aber auch das kann man nachschlagen.... Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Fr 15.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Ich würde die Euler-McLaurin sche Summenformel verwenden...
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