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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 So 23.05.2010 | | Autor: | noprop |
Ich suche die Herleitung der Summenformel zur Summe
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(a+i)!}{i!}
[/mm]
Eigentlich sieht die ziemlich fundamental aus. Gibt es da nicht einen Satz mit einer Ableitung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wie lautet denn die Formel ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:07 So 23.05.2010 | | Autor: | noprop |
Die Formel lautet
[mm] \bruch{(a+n+1)!}{(a+1)*n!}-a!
[/mm]
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Hallo,
Das ist ja die richtige Formel für die Summe oben.
Hast du dein Problem gelöst, oder möchtest du noch wissen wie man drauf kommt?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 So 23.05.2010 | | Autor: | noprop |
Genau um die Herleitung geht es! Die suche ich ganz verzweifelt. Wenn es irgendwo ein Script oder eine Seite mit der Herleitung gibt, dann würde mir der Link schon reichen.
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Hallo,
> Ich suche die Herleitung der Summenformel zur Summe
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(a+i)!}{i!}[/mm]
>
> Eigentlich sieht die ziemlich fundamental aus. Gibt es da
> nicht einen Satz mit einer Ableitung?
Als erster Schritt wird die Summe folgendermaßen umgeschrieben:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \bruch{(a+i)!}{i!} [/mm] = [mm] \left(\summe_{i=0}^{n} \bruch{(a+i)!}{i!}\right)-a!$.
[/mm]
Nun kannst du den Term in der Summe auch wie folgt schreiben: [mm] $\frac{(a+i)!}{i!} [/mm] = [mm] a!*\frac{(a+i)!}{a!*i!}= a!*\vektor{a+i\\a}$, [/mm] also:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \bruch{(a+i)!}{i!}= \left(\summe_{i=0}^{n} \bruch{(a+i)!}{i!}\right)-a! [/mm] = [mm] \left(a!*\summe_{i=0}^{n} \vektor{a+i\\a}\right)-a!$
[/mm]
Nach ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia hast du nun eine so genannte "Verschobene Summe von Binomialkoeffizienten", die sich wie folgt zusammenfassen lässt: [mm] $\summe_{i=0}^{n} \vektor{a+i\\a} [/mm] = [mm] \vektor{a+n+1\\n+1} [/mm] = [mm] \frac{(a+n+1)!}{(n+1)!*a!}$,
[/mm]
also eingesetzt:
$= [mm] \left(a!*\frac{(a+n+1)!}{(n+1)!*a!}\right)-a! [/mm] = [mm] \frac{(a+n+1)!}{(n+1)!}-a!$.
[/mm]
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Du musst jetzt also nur noch herausbekommen, wie man das mit den verschobenen Binomialkoeffizienten beweist.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 So 23.05.2010 | | Autor: | noprop |
Absolut phantastisch. Ich bin begeistert. Allerbesten Dank!
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