Summenformel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 25.05.2008 | | Autor: | masio |
HAllo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe etwas nicht verstanden:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] * k * [mm] \bruch{\mu^{k}}{k!} e^{-\mu} [/mm]
=
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] * k * [mm] \bruch{\mu^{k}}{k!} e^{-\mu} [/mm]
=
[mm] e^{-\mu} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] * [mm] \bruch{\mu^{k}}{(k-1)!}
[/mm]
=
[mm] e^{-\mu} *\mu [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n-1} [/mm] * [mm] \bruch{\mu^{k}}{k!} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{-\mu} *\mu [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n-1} [/mm] * [mm] \bruch{\mu^{k}}{k!} [/mm]
=
[mm] e^{-\mu} [/mm] * [mm] \mu [/mm] * [mm] e^{\mu} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
Also hier habe ich die Stellen nciht verstaden, liegt wahrscheinlich daran, dass ich nc iht gut mich mit Summenformeln und deren Regeln auskenne, zusammen, warum man an den Stellen unten am Summenzeichen (k=1) mal hat und als letztes oben am Summenzeichen n-1 und einmal neben dem Summenzeichen im Nenner (k-1)!?
Würde mich sehr über eine Antwort freuen, und danke im Voraus.
Liebe Grüße
masio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 25.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo masio!
Zunächst einmal wurde die Definition bzw. eine Eigenschaft der  Fakultät verwendet und anschließend gekürzt:
[mm] $$\bruch{k}{k!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k}{(k-1)!*k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(k-1)!}$$
[/mm]
Dann wurde eine sogenannte Indexverschiebung durchgeführt.
Als Ausgleich (denn es müsste sonst [mm] $\mu^{k+1}$ [/mm] dastehen), wird einmal [mm] $\mu^1$ [/mm] ausgeklammert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 So 25.05.2008 | | Autor: | masio |
Hallo,
erstmals sehr sehr vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe das mit dem Kürzen sehr gut verstanden, kannte leider die Regeln dafür nicht, danke.
Aber ich habe immer noch nicht verstanden, nach langer Überlegung, wie diese k=1 unter zur Stande kommt, und die n-1 oben.
Danke im Voraus.
Liebe Grüße
masio
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Hallo masio,
> Hallo,
>
> erstmals sehr sehr vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
>
> Ich habe das mit dem Kürzen sehr gut verstanden, kannte
> leider die Regeln dafür nicht, danke.
>
> Aber ich habe immer noch nicht verstanden, nach langer
> Überlegung, wie diese k=1 unter zur Stande kommt, und die
> n-1 oben.
Ich nehme, das es darum geht:
[mm]e^{-\mu} \summe_{k=1}^{n} \bruch{\mu^{k}}{(k-1)!}[/mm]
Dieses soll gleich sein mit:
[mm] e^{-\mu} \cdot{}\mu \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{\mu^{k}}{k!} [/mm]
[mm]e^{-\mu} \summe_{k=1}^{n} \bruch{\mu^{k}}{(k-1)!}[/mm]
Um die Summe von dem Index 0 an laufen zu lassen, definieren wir einen
neuen Laufindex [mm]l:=k-1[/mm]
Da die Summe von [mm]k=0[/mm] bis [mm]k=n[/mm] und mit dem neuen Index [mm]l=k-1[/mm] gilt, läuft dieser jetzt von [mm]l=1-1=0[/mm] bis [mm]l=n-1[/mm]
Somit ergibt sich:
[mm] e^{-\mu} \summe_{l=0}^{n-1} \bruch{\mu^{l+1}}{l!} [/mm]
[mm]\gdw e^{-\mu} \mu \summe_{l=0}^{n-1} \bruch{\mu^{l}}{l!} [/mm]
Da der Laufindex unabhängig ist, können wir das l wieder in k umtaufen:
[mm]e^{-\mu} \mu \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{\mu^{k}}{k!} [/mm]
>
>
> Danke im Voraus.
>
>
> Liebe Grüße
> masio
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 26.05.2008 | | Autor: | masio |
Hallo,
MathePOwer, ich danke Dir vielmals für die schnelle Antwort gestern.
Aber leider verstehe ich das immer noch nicht, trotz der ausführlichen Erklärung.
Hängt denn das was unter dem Summenzeichen steht mit dem was im Nenner steht zusammen?
Tut mir Leid, aber habe den ganzen Mittag gesessen und immenich nicht verstanden, könnte es natürlich "einfach" übernehmen, ber das finde ich nciht legitim, möchte es schin sehr gerne verstehen.
Liebe Grüße
masio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo masio,
Vielleicht schreibst Du Dir die Summen einmal für ein ganz konkretes n, z.B. n=3 auf. Vielleicht siehst Du dann, was die Umindizierung bewirkt.
Dann kannst Du Dir auch nochmal den ersten und letzten Summanden der Summe bis n bzw. n-1 ansehen und vergleichen.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 26.05.2008 | | Autor: | masio |
Hallo,
also ich verstehe den Schritt von dem Anfangsbeispiel, wo k=0 ist auf
$ [mm] e^{-\mu} \summe_{k=1}^{n} \bruch{\mu^{k}}{(k-1)!} [/mm] $
Warum wird hier auf einmal k=1?
Weil an sich ziehe ich ja nur die Konstante nach vorne, ist es das, was das k=1 bewirkt?
Das mit dem Kürzen habe ih hier verstanden.
Dann verstehe ich absolut nicht, warum es zu dieser Formel kommt:
$ [mm] e^{-\mu} \cdot{}\mu \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{\mu^{k}}{k!} [/mm] $
Das n-1 stört mich oben, und auf einmal wird hier k=0 wieder unten.
Liebe Grüße
masio
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hallo masio, ich glaube, dein Problem ist die [mm] \summe [/mm] - Schreibweise
In der Summenschreibweise [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] bedeuten die Angaben k=1 unter dem [mm] \summe
[/mm]
und n über dem [mm] \summe [/mm] - Symbol einfach, dass k der laufende Index ist, der die ganzzahligen Werte von 1 bis und mit n durchlaufen soll.
Ich zeige nur ein ganz einfaches Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{4} k^2 [/mm] bedeutet [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + [mm] 4^2
[/mm]
Dieselbe Summe könnte man beispielsweise auch schreiben als:
[mm] \summe_{k=0}^{3} (k+1)^2 [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 26.05.2008 | | Autor: | masio |
Hallo,
aber was ich leider immer noch nicht verstehe ist, dass warum bzw. wie wir nach der Ausklammerung von e einmal k=1 kriegen und nach nocheinmal der Ausklammerung von mü oben n-1 UND unten wieder der Wandel zu k=0
Liebe Grüße
masio
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da sollte ich nochmals genau die Schritte sehen, die du meinst
in den obersten Zeilen des Ur-Posts sind die Summanden
mit k=0 aber ohnehin gleich null (wegen des Faktors k), weshalb
sie auch weggelassen werden dürfen, d.h. es spielt keine
Rolle, ob die Summation mit k=0 oder mit k=1 beginnt
Al-Ch.
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