Summenbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Aufgabe
Beweisen Sie
b) [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] 1/k! < 3 n [mm] \in \IN [/mm] |
Den Anfang habe ich mit Vollständiger Induktion gelöst, was uns aber
freigestellt wurde. Aber wir sollten nach möglichkeit die Summenformel für
die geometrische Reihe benutzen. Nun meine Frage, habe ich das so richtig gemacht???
I.A n=1
[mm] \summe_{k=0}^{1} [/mm] 1/0! + 1/1! < 3 w.A
I.V Die Behauptung gilt bis zu einem festen n.
so und nun habe ich den Rest einfach abgeschätzt..
1/k! = 1/(1*2*3...k) [mm] \le [/mm] (1/2^(k-1))
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k: [/mm] ((1-q^(n+1) / (1-q)) für |q| < 1
1+ (1 - [mm] (1/2)^n [/mm] ) / (1 - (1/2)) < 1 + 1/1-0,5 < 3... w.A
Kann man das so lassen?
Vielen Dank
Grüße
Bodo0686
Ich habe diese Frage, noch in keinem weiteren Forum gestellt.
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> Aufgabe
> Beweisen Sie
>
> b) [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] 1/k! < 3 n [mm]\in \IN[/mm]
> Den Anfang habe
> ich mit Vollständiger Induktion gelöst,was uns aber
> freigestellt wurde. Aber wir sollten nach möglichkeit die
> Summenformel für
> die geometrische Reihe benutzen. Nun meine Frage, habe ich
> das so richtig gemacht???
>
> I.A n=1
>
> [mm]\summe_{k=0}^{1}[/mm] 1/0! + 1/1! < 3 w.A
>
> I.V Die Behauptung gilt bis zu einem festen n.
>
> so und nun habe ich den Rest einfach abgeschätzt..
Hallo,
was Du bisher gemacht hast, ist die Vorbereitung einer vollständigen Induktion - über das, was Du nach wie vor verkehrt machst, schreibe ich unten noch etwas.
Nun schätzt Du ab. Vom Induktionsschluß weit und breit nichts zu sehen!!!
Das ist aber nicht so tragisch, denn Du machst im folgenden dann ja gar keine Induktion, aber wenn Du keinen Induktionsschluß durchführst, brauchst Du auch I.Anfang und I.Voraussetzung nicht. (Weg damit.)
Für die Zukunkt eine Bitte: mach Dich mit dem Formeleditor vertraut.
So wie es dastehen hast, ist es furchtbar schlecht zu lesen.
Das Sortieren macht mehr Mühe als das Verstehen.
Tip: Exponenten erscheinen als Exponenten, wenn Du sie in geschweifte Klammern setzt.
Für alle [mm] k\in \IN [/mm] gilt
> 1/k! = 1/(1*2*3...k) [mm]\le[/mm] (1/2^(k-1))
[mm] \bruch{1}{k!}=\bruch{1}{1*2*3...k} \le \bruch{1}{2^{k-1}}=(\bruch{1}{2})^{k-1}
[/mm]
Ja. Richtig. Diese Abschätzung verstehe ich gut.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k:[/mm] ((1-q^(n+1) / (1-q)) für |q| < 1
Hier hast Du eine endliche geometrische Reihe, und die Formel gilt sogar für all [mm] q\not=1. [/mm] (Natürlich gilt das dann auch für |q| < 1.)
Also: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] und für alle [mm] q\not=1 [/mm] gilt
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}.
[/mm]
Somit ist
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} \le \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{k-1}
[/mm]
bevor Du nun die geometrische Reihe 1:1 anwenden kannst, mußt Du [mm] (\bruch{1}{2})^{-1} [/mm] vor die Summe ziehen.
[mm] ...=(\bruch{1}{2})^{-1}\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
[mm] =2\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
[mm] =2\bruch{1-(\bruch{1}{2})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{2})}<
[/mm]
- hier kommt nun eine Enttäuschung. Es ist <4. <3 kann ich so nicht zeigen.
Oder meintest Du es anders?
> 1+ (1 - [mm](1/2)^n[/mm] ) / (1 - (1/2))
Ich sehe im Moment nicht, wo das herkommt.
< 1 + 1/1-0,5 < 3... w.A
Noch zu einer eingangs erwähnten Sache:
Du kannst entweder schreiben
[mm] \summe_{k=0}^{1}\bruch{1}{i!}
[/mm]
oder Du schreibst diese Summe aus als
[mm] \bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}
[/mm]
1/0! + 1/1! < 3.
Das was Du schreibst, [mm] \summe_{k=0}^{1}1/0! [/mm] + 1/1! , ist verkehrt bzw. bedeutet etwas völlig anderes als Du bezweckst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm]
aber
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] kann ja auch folgendes sein [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm]
Durch eine Indexverschiebung von [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm]
auf [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{2}^k [/mm] angewandt auf die geometrische Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] käme ich dann auf [mm] \bruch{1-(\bruch{1}{2})^{n}}{1-(\bruch{1}{2})} [/mm] und das ist < [mm] \bruch{1}{1-(\bruch{1}{2})} [/mm] < 3.
Oder kann man das evtl. mit den Binomialkoeffizienten machen?
Bin mir da aber jetzt auch nicht sicher... Die Aufgabe soll tatsächlich kleiner 3 sein...
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
> aber
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] kann ja auch folgendes sein
> [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
Nee.
Dann wäre ja [mm] 1-q^{n+1}=1 [/mm] und das ist nur für die allerwenigsten q der Fall.
(Das, was Du sagt, hat aber einen wahren Kern: es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1}{1-q} [/mm] für |q|<1)
>
> Durch eine Indexverschiebung von [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm]
>
> auf [mm]\summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{2}^k[/mm]
Es ist [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{2}^k\not=\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{k-1},
[/mm]
sondern
[mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{k-1}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2})^{0-1}+\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{2})^{k-1}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2})^{-1}+\summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
[mm] =2+\summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
Da haben wir wieder eine 2, die so entsetzlich stört.
Mir fällt im Moment nichts mit geometrischer Reihe ein.
Ich weiß ja nicht, was Ihr schon alles hattet.
Es ist [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}=e^x.
[/mm]
Wenn man das hat, und weiß, daß e<3 ist, ist es sehr einfach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich find die Aufgabe so oder so, ein bissl komisch.
Wir haben hier auf dem Aufgabenblatt, einen Hinweis stehn, der aber ziemlich nichtssagend ist.
"Benutzen Sie für a) und c) die voll. Ind. Verwenden Sie für b) Teil a) und die Summenformel für die endliche geometrische Reihe sowie für c) Teil b).
Ich weiß jetzt auch nicht, ob dir das was hilft...
Uns ist noch gesagt worden, dass man das ganze abschätzen muss um auf die geometrische Reihe zu kommen...
Aber das hab ich ja bereits getan...
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> ... Verwenden Sie
> für b) Teil a) und die Summenformel für die endliche
> geometrische Reihe ...
> Ich weiß jetzt auch nicht, ob dir das was hilft...
Jedenfalls solltest Du die Aussage von Teil a) hier mal aufschreiben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Das würd ich ja gerne machen... nur da steht nix....
Mehr als das was ich dir bereits geschrieben habe, steht auf dem Aufgabenblatt auch nicht...
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Ja, was?
Da Du Deine Aufgabe mit Aufgabe b) bezeichnest, muß doch irgendwo Teilaufgabe a) sein!(?)
Oder sind die bei Euch so schusselig, daß die Zählung mit 1b) beginnt?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
aber ich denk das hat nix mit der Aufgabe b) zu tun.. weil das
2 völlig verschiedene paar Schuhe sind..
a) [mm] 2^n [/mm] < n! n [mm] \in \IN
[/mm]
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> aber ich denk das hat nix mit der Aufgabe b) zu tun.. weil
> das
> 2 völlig verschiedene paar Schuhe sind..
>
> a) [mm]2^n[/mm] < n! n [mm]\in \IN[/mm]
Du bist echt drollig.
Das hat ziemlich viel mit der Aufgabe zu tun.
(Allerdings hat's einen Schonheitsfehler. Es stimmt erst für [mm] n\ge [/mm] 4.
Steht das vielleicht auch noch in Deiner Aufgabe???)
Es ist nämlich
[mm] 2^n [/mm] < n!<==> [mm] \bruch{1}{2^n}>\bruch{1}{n!}
[/mm]
Unter Brücksichtigung modernster Erkenntnisse [mm] (n\ge [/mm] 4) erhält man
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}=\bruch{11}{6}+\summe_{k=4}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] <\bruch{16}{6}+\summe_{k=4}^{n}\bruch{1}{2^k}
[/mm]
[mm] <\bruch{16}{6}+\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{1}{2^k}
[/mm]
[mm] =\bruch{16}{6}+ [/mm] 2 - [mm] \bruch{15}{8}
[/mm]
Ich wäre Dir verbunden, wenn Du solche Informationen in Zukunft nicht erst auf Aufforderung nennen würdest, ersparen sie doch allerlei Fehlüberlegungen und somit Zeit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}=\bruch{11}{6}+\summe_{k=4}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm]
> [mm]<\bruch{16}{6}+\summe_{k=4}^{n}\bruch{1}{2^k}[/mm]
> [mm]<\bruch{16}{6}+\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{1}{2^k}[/mm]
> [mm]=\bruch{16}{6}+[/mm] 2 - [mm]\bruch{15}{8}[/mm]
Wie kommst du denn hier auf die [mm] \bruch{11}{6} [/mm] , [mm] \bruch{16}{6} [/mm] bzw.
[mm] \bruch{15}{8}.
[/mm]
Kann man am ende nicht noch sagen, dass das < 3 ist??
Und wie soll ich jetzt da die geometrische Reihe reinbuggseln?
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Hallo Bodo,
m.E. sind die [mm] \frac{11}{16} [/mm] bei der 1. Umformung falsch, da müsste direkt [mm] \frac{16}{6} [/mm] stehen, denn:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\sum\limits_{k=4}^n\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\sum\limits_{k=4}^n\frac{1}{k!}$
[/mm]
[mm] $=\frac{16}{6}+\sum\limits_{k=4}^n\frac{1}{k!}$
[/mm]
Das wird nun mit der obigen Abschätzung [mm] $\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^n}$ [/mm] abgeschätzt:
[mm] $<\frac{16}{6}+\sum\limits_{k=4}^n\frac{1}{2^k}<\frac{16}{6}+\sum\limits_{k=4}^{\infty}\frac{1}{2^k}$ [/mm] klar, da kommen ja lauter positive Summanden hinzu
[mm] $=\frac{16}{6}+\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{2^k}\red{-\left(\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\right)}$ [/mm] diese ersten 4 Summanden haben wir hinzugemogelt und müssen sie wieder abziehen
[mm] $=\frac{16}{6}+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-\frac{15}{8}=\frac{16}{6}+2-\frac{15}{8}=\frac{67}{24}<3$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Vielen Dank, erstmal...
wenn wir jetzt noch den letzten Teil der Aufgabe klären könnten, wäre ich euch dankbar...
Hier nochmal der Hinweis der auf dem Blatt steht.
Benutzen Sie für a) und c) die vollständige Induktion. Verwenden Sie für b) Teil a) und die Summenformel für die endliche Geometrische Reihe sowie für c) Teil b)!
Aufgabe c)
[mm] (\bruch{n}{3})^n \le \bruch{1}{3}n! [/mm] für [mm] n\in \IN
[/mm]
I.A n=1
[mm] (\bruch{1}{3})^1 \le \bruch{1}{3}1! [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \le \bruch{1}{3}
[/mm]
w.A.
I.V Die Beh. gilt bis n.
I.S. n-> n+1
[mm] (\bruch{n+1}{3})^{n+1} \le \bruch{1}{3}(n+1)! [/mm]
So und nun steh ich wieder aufm Schlauch! Irgendwo muss man ne abschätzung von [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] machen...
Gibts nicht irgendein Schema, das man immer abarbeiten kann, damit man den Induktionsschritt auf die Reihe bekommt??
Danke
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Hallo Bodo,
hmm Schema würde ich nicht sagen.
Versuche mal, den Ausdruck [mm] $\left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}$ [/mm] geschickt zu "erweitern", so dass du den Bruch [mm] $\left(\frac{n}{3}\right)^n$ [/mm] erhältst. Dann kannst du das mit der Indvor. abschätzen.
Den Rest kannst du dann mithilfe der bisherigen Ergebnisse abschätzen.
Hoffe, das war nicht zu wirr 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo,
>
> hmm Schema würde ich nicht sagen.
>
> Versuche mal, den Ausdruck
> [mm]\left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}[/mm]
> geschickt zu "erweitern", so dass du den Bruch
> [mm]\left(\frac{n}{3}\right)^n[/mm] erhältst.
wenn ich jetzt den Faktor 1/3 rausziehe hätte ich ja
[mm] \bruch{1}{3} ((n+1)^{n} [/mm] * (n+1))
Evtl mit [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] erweitern? dann würde sich das ja mit (n+1) rauskürzen...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bodo,
versuch's mal so:
$\left(\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}=\left({\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\underbrace{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}_{=1}\cdot{}\frac{n+1}{3}=\left(\frac{n}{3}\right)^n\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}$
$<\frac{1}{3}n!(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\frac{1}{3}n!(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\frac{1}{3}n!(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}3=\frac{1}{3}n!(n+1)=\frac{1}{3}(n+1)!$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 So 06.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo,
>
> versuch's mal so:
>
> [mm]\left(\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}
=\left({\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\underbrace{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}_{=1}\cdot{}\frac{n+1}{3}
Hier hast du einfach eine 1 Multipliziert. Darf man das denn so einfach?
=\left(\frac{n}{3}\right)^n\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}[/mm]
woher kommen hier die [mm] \left(\frac{n}{3}\right)^n [/mm] von der Aufgabe selbst?
> [mm]<\frac{1}{3}n!(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\frac{1}{3}n!(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\frac{1}{3}n!(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}3=\frac{1}{3}n!(n+1)=\frac{1}{3}(n+1)![/mm]
Wie kommst du hier auf [mm] \left(\frac{n+1}{n}\right)^n [/mm] ... und warum hier mal 3?
Wäre gut wenn du mir diese Schritte evtl. noch erklären könntest...
Danke und Grüße
bodo0686
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bodo,
wenn ich mit 1 multipliziere, ändere ich ja nichts,1 ist doch das neutrale Element bzgl. der Multiplikation.
$\left(\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3} =\left({\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\underbrace{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}_{=1}\cdot{}\frac{n+1}{3}$
$=\red{\left({\frac{n+1}{3}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}=\left(\frac{n+1}{3}\cdot{}\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{3}$
$=\left(\frac{n}{3}\right)^n\cdot(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\underbrace{<}_{Indvor}\frac{1}{3}n!(n+1)\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
Die Folge $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ist streng monoton steigend und konvergiert gegen $e$, ist also $<3$
Damit ....$<\frac{1}{3}(n+1)!\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}3=\frac{1}{3}(n+1)!$
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 05.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn da steht, benutze a) solltest du uns a) mitteilen.
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k}=1+\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k!}
den fuer [mm] k\ge1 [/mm] gilt [mm] \bruch{1}{k!}<\bruch{1}{2^k}
[/mm]
Pruef es nach, auch ich mach Leichtsinnsfehler!
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Kann ich das denn nun so aufschreiben?
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] = 1 + [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch {1}{2^k} [/mm] < [mm] \bruch{3}{2}, [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1 gilt [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2^k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] , |q|<1
= 1 + [mm] \bruch{1-(\bruch{1}{2})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{2})} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1- (\bruch{1}{2})} [/mm] < 3
Ich meine aber dass das so nicht funktioniert...
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> Kann ich das denn nun so aufschreiben?
Wenn Du jeden einzelnen Schritt verstehst und eine Begründung dazuschreiben kannst, kannst Du das so aufschreiben.
> Ich meine aber dass das so nicht funktioniert...
Dann kannst Du es nicht aufschreiben.
leduart wies ja darauf hin, daß Du es noch prüfen sollst.
Ansonsten: siehe hier
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
oh sorry, ich dachte das die Aufgaben nix mit einander zu tun haben...
:-/
Aufgabe a)
Wie würde denn da der Induktionsschritt aussehen?
[mm] 2^{n} [/mm] < n!
n-> n+1
z.Z. [mm] 2^{n+1} [/mm] < (n+1)!
n! + [mm] 2^{n+1} [/mm] < (n+1)!
[mm] \gdw [/mm] n! + [mm] 2^{n} [/mm] *2 < (n+1)!
=(für n=4) 4! + [mm] 2^4 [/mm] *2 < 5!
= 56 < 120 (w.A)
Wie schauts denn hier jetzt aus? Is hier auch ein Fehler drinne?
Grüße
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Hallo Bodo,
Ind.schritt: [mm] n\rightarrow [/mm] n+1
Ind.vor: [mm] 2^n
zz.: [mm] 2^{n+1}<(n+1)!
[/mm]
dazu: [mm] 2^{n+1}=2\cdot{}2^n\underbrace{<}_{Ind.vor}2\cdot{}n!<(n+1)\cdot{}n!=(n+1)! [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
in der Aufgabe steht, dass das ganze aber für n [mm] \ge [/mm] 4 gilt...
macht das was, in diesem Fall, oder kann man das ignorieren?
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Hi
ja, das mit [mm] n\ge [/mm] 2 galt nur für meine Umformung, also auch für alle größeren n
der Indanfang ist aber erst für [mm] n\ge [/mm] 4
LG
schachuzipus
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