Summen von zwei Quadraten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt
| Aufgabe 1 | | Zu beweisen: Ist n eine natürlich Zahl kongruent 3 modulo 4, so lässt sich n als Summe von zwei Quadraten darstellen. |
| Aufgabe 2 | | Zu beweisen: Zu was ist n kongruent modulo 9, wenn man n als Summe von zwei Quadraten schreiben kann. |
Also habe folgendes Problem: Musste im Zahlentheorie-Proseminar einen Vortrag über Summe von zwei Quadraten halten.
Hab das Thema auch verstanden und gut erklären können. Nur soll ich jetzt zum Schluß noch diese zwei Aufgaben beweisen, und weiß einfach nicht wie das funktionieren soll. Brauch dringend Hilfe, soll das nämlich so bald wie möglich abgeben.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt
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> Zu beweisen: Ist n eine natürlich Zahl kongruent 3 modulo
> 4, so lässt sich n als Summe von zwei Quadraten
> darstellen.
umformuliert heißt die Aufgabe doch:
Gilt für $n [mm] \in \IN$, [/mm] dass sich [mm] $n\,$ [/mm] darstellen läßt als Summe zweier Quadratzahlen, dass man dann [mm] $n=k*4+3\,$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] schreiben kann.
Es wäre also zu beweisen, dass sich jede Zahl der Menge
[mm] $$\{k*4+3:\;k \in \IN_0\}=\{3,\;7,\;11,\;15,\;19,\;\ldots\}$$
[/mm]
als Summe zweier Quadratzahlen darstellen läßt. Schon bei der [mm] $3\,$ [/mm] scheitert das...
Sollte es nicht vll. eher heißen:
Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] kongruent [mm] $3\,$ [/mm] modulo [mm] $4\,,$ [/mm] so läßt sich [mm] $n\,$ [/mm] nicht als Summe zweier Quadratzahlen schreiben?
Da ich gerade in Zahlentheorie nicht mehr so ganz fit bin, rechne ich Dir das mal elementar vor:
Wir zeigen einfach, dass jede Summe zweier Quadratzahlen bei Division durch [mm] $4\,$ [/mm] niemals den Rest [mm] $3\,$ [/mm] lassen kann.
1. Fall:
Sei [mm] $n=x^2+y^2$ [/mm] mit [mm] $x,y\,$ [/mm] gerade. Dann sind sowohl [mm] $x^2$ [/mm] als auch [mm] $y^2$ [/mm] durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbar, also ist $n [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod 4\,.$
[/mm]
2. Fall:
Sei [mm] $n=x^2+y^2$ [/mm] mit o.E. [mm] $x\,$ [/mm] gerade und [mm] $y\,$ [/mm] ungerade (andernfalls vertausche [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] gegeneinander). Dann ist [mm] $x=2k\,$ [/mm] und [mm] $y=2m+1\,$ [/mm] mit je einem $k,m [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Daraus folgt
[mm] $$n=(2k)^2+(2m+1)^2=4k^2+4m^2+4m+1$$
[/mm]
und daher [mm] $n\equiv [/mm] 1 [mm] \mod 4\,.$
[/mm]
3. Fall:
Sei [mm] $n=x^2+y^2$ [/mm] mit [mm] $x,y\,$ [/mm] ungerade. Dann ist $x=2k+1$ und $y=2m+1$ mit je einem $k,m [mm] \in \IN_0$, [/mm] somit
[mm] $$n=(2k+1)^2+(2m+1)^2=4k^2+4k+1+4m^2+4m+1=4(k^2+k+m^2+m)+2$$
[/mm]
und somit $n [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \mod 4\,.$
[/mm]
Für [mm] $n=x^2+y^2$ [/mm] (mit $x,y [mm] \in \IN_0$) [/mm] gibt es aber nur die Fälle, dass die Zahlen [mm] $x,y\,$ [/mm] die Eigenschaft haben
[mm] $\bullet$ [/mm] beide gerade
[mm] $\bullet$ [/mm] eine gerade und die andere ungerade
[mm] $\bullet$ [/mm] beide ungerade
zu sein. In keinem dieser Fälle läßt [mm] $n\,$ [/mm] bei Division durch [mm] $4\,$ [/mm] den Rest [mm] $3\,$ [/mm] (siehe oben), also gilt stets, dass, wenn sich [mm] $n\,$ [/mm] als Summe zweier Quadratzahlen schreiben läßt, dass dann die Zahlen [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $3\,$ [/mm] inkongruent bzgl. des Moduls [mm] $4\,$ [/mm] sind.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mi 29.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> > Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt
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> > Zu beweisen: Ist n eine natürlich Zahl kongruent 3 modulo
> > 4, so lässt sich n als Summe von zwei Quadraten
> > darstellen.
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> umformuliert heißt die Aufgabe doch:
> Gilt für [mm]n \in \IN[/mm], dass sich [mm]n\,[/mm] darstellen läßt als
> Summe zweier Quadratzahlen, dass man dann [mm]n=k*4+3\,[/mm] mit
> einem [mm]k \in \IN_0[/mm] schreiben kann.
> Es wäre also zu beweisen, dass sich jede Zahl der Menge
> [mm]\{k*4+3:\;k \in \IN_0\}=\{3,\;7,\;11,\;15,\;19,\;\ldots\}[/mm]
>
> als Summe zweier Quadratzahlen darstellen läßt. Schon bei
> der [mm]3\,[/mm] scheitert das...
>
> Sollte es nicht vll. eher heißen:
> Ist [mm]n \in \IN[/mm] kongruent [mm]3\,[/mm] modulo [mm]4\,,[/mm] so läßt sich [mm]n\,[/mm]
> nicht als Summe zweier Quadratzahlen schreiben?
>
> Da ich gerade in Zahlentheorie nicht mehr so ganz fit bin,
> rechne ich Dir das mal elementar vor:
> Wir zeigen einfach, dass jede Summe zweier Quadratzahlen
> bei Division durch [mm]4\,[/mm] niemals den Rest [mm]3\,[/mm] lassen kann.
> 1. Fall:
> Sei [mm]n=x^2+y^2[/mm] mit [mm]x,y\,[/mm] gerade. Dann sind sowohl [mm]x^2[/mm] als
> auch [mm]y^2[/mm] durch [mm]4\,[/mm] teilbar, also ist [mm]n \equiv 0 \mod 4\,.[/mm]
>
> 2. Fall:
> Sei [mm]n=x^2+y^2[/mm] mit o.E. [mm]x\,[/mm] gerade und [mm]y\,[/mm] ungerade
> (andernfalls vertausche [mm]x\,[/mm] und [mm]y\,[/mm] gegeneinander). Dann
> ist [mm]x=2k\,[/mm] und [mm]y=2m+1\,[/mm] mit je einem [mm]k,m \in \IN_0\,.[/mm]
> Daraus folgt
> [mm]n=(2k)^2+(2m+1)^2=4k^2+4m^2+4m+1[/mm]
> und daher [mm]n\equiv 1 \mod 4\,.[/mm]
> 3. Fall:
> Sei [mm]n=x^2+y^2[/mm] mit [mm]x,y\,[/mm] ungerade. Dann ist [mm]x=2k+1[/mm] und
> [mm]y=2m+1[/mm] mit je einem [mm]k,m \in \IN_0[/mm], somit
> [mm]n=(2k+1)^2+(2m+1)^2=4k^2+4k+1+4m^2+4m+1=4(k^2+k+m^2+m)+2[/mm]
> und somit [mm]n \equiv 2 \mod 4\,.[/mm]
Hallo,
mit Zahlentheorie:
Stets gilt [mm] z\equiv [/mm] 0 mod 4 ODER [mm] z\equiv \pm [/mm] 1 mod 4 ODER [mm] z\equiv [/mm] 2 mod 4.
Daraus folgt [mm] z^2\equiv [/mm] 0 mod 4 ODER [mm] z^2\equiv [/mm] 1 mod 4 ODER [mm] z^2\equiv [/mm] 4 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 4.
Quadratzahlen lassen also nur den Rest 0 oder den Rest 1 mod 4.
Die Summe zweier Quadratzahlen kann also nie den Rest 3 haben.
Gruß Abakus
>
> Für [mm]n=x^2+y^2[/mm] (mit [mm]x,y \in \IN_0[/mm]) gibt es aber nur die
> Fälle, dass die Zahlen [mm]x,y\,[/mm] die Eigenschaft haben
>
> [mm]\bullet[/mm] beide gerade
>
> [mm]\bullet[/mm] eine gerade und die andere ungerade
>
> [mm]\bullet[/mm] beide ungerade
>
> zu sein. In keinem dieser Fälle läßt [mm]n\,[/mm] bei Division
> durch [mm]4\,[/mm] den Rest [mm]3\,[/mm] (siehe oben), also gilt stets, dass,
> wenn sich [mm]n\,[/mm] als Summe zweier Quadratzahlen schreiben
> läßt, dass dann die Zahlen [mm]n\,[/mm] und [mm]3\,[/mm] inkongruent bzgl.
> des Moduls [mm]4\,[/mm] sind.
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> Hallo,
> mit Zahlentheorie:
> Stets gilt [mm]z\equiv[/mm] 0 mod 4 ODER [mm]z\equiv \pm[/mm] 1 mod 4 ODER
> [mm]z\equiv[/mm] 2 mod 4.
> Daraus folgt [mm]z^2\equiv[/mm] 0 mod 4 ODER [mm]z^2\equiv[/mm] 1 mod 4 ODER
> [mm]z^2\equiv[/mm] 4 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 4.
> Quadratzahlen lassen also nur den Rest 0 oder den Rest 1
> mod 4.
> Die Summe zweier Quadratzahlen kann also nie den Rest 3
> haben.
> Gruß Abakus
irgendwas fehlt aber bei Deinem von mir nun blaumarkierten Satz. Denn ich habe doch nachgerechnet, dass [mm] $n\,$ [/mm] als Summe zweier ungerader Quadratzahlen bei Division den Rest [mm] $2\,$ [/mm] läßt. Beispiel:
[mm] $x=3\,$ [/mm] und [mm] $y=7\,$ [/mm] liefert
x²+y²=9+49=58=14*4+2
Edit:
Sorry, ich hatte übersehen, dass Du dort nur von Quadratzahlen und noch nicht von der Summe zweier Quadratzahlen gesprochen hast!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Do 30.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zu beweisen: Ist n eine natürlich Zahl kongruent 3 modulo
> 4, so lässt sich n nicht als Summe von zwei Quadraten
> darstellen.
>
> Zu beweisen: Zu was ist n kongruent modulo 9, wenn man n
> als Summe von zwei Quadraten schreiben kann.
Wenn du die erste Aufgabe geloest hast, solltest du wissen, wie du die zweite angehst: welche Werte kann [mm] $z^2$ [/mm] modulo 9 annehmen? Was fuer Kombinationen gibt es also fuer Reste bei Division mit 9, wenn man zwei Quadrate addiert?
LG Felix
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hey leute sorry das ich etz erst zurückschreib, hatte bisl stress.
danke für eure antworten, die werden mir bestimmt weiterhelfen.
falls nicht dann meld ich mich nochmal.
vielen dank
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also die erste aufgabe hab ich jetzt schon verstanden.
nur die zweite nicht wirklich, steh wahrscheinlich nur aufm schlauch, aber wei echt nicht was ich da tun oder besser was ich da jetzt zeigen soll :-((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 05.08.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> also die erste aufgabe hab ich jetzt schon verstanden.
> nur die zweite nicht wirklich, steh wahrscheinlich nur
> aufm schlauch, aber wei echt nicht was ich da tun oder
> besser was ich da jetzt zeigen soll :-((
Die Quadrate mod 9 sind 0, 1, 4, 7, wie du leicht ausrechnen kannst. Welche Reste kriegst du, wenn du 2 solche addierst?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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ja ich weiß, so weit war ich auch schon, addiert man diese zahlen, bekommt man immer, dass es zu allem kongruent ist, außer zu 3 und 6.
nur weiß ich nicht wie ich es beweisen soll, dass es dann auch richtig ist.
mit beweisen hatte ich schon immer meine probleme :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 05.08.2009 | | Autor: | abakus |
> ja ich weiß, so weit war ich auch schon, addiert man diese
> zahlen, bekommt man immer, dass es zu allem kongruent ist,
> außer zu 3 und 6.
>
> nur weiß ich nicht wie ich es beweisen soll, dass es dann
> auch richtig ist.
> mit beweisen hatte ich schon immer meine probleme :-(
Hallo,
mach doch eine Tabelle. Oben und vorn schreibst du jeweils 0, 1, 4, 7 ran, und in die Tabelle jeweils die Summe aus der Zahl in der Zeile und in der Spalte.
Das ist eine vollständige Auflistung der 16 möglichen Kombinationen, in denen bestimmte Werte NIE auftreten.
Gruß Abakus
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ja dankeschön, ich versuchs mal und gib das dann so ab.
ich hoff das reicht dann ^^
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also ich hab jetz diese tabelle und alles so gemacht, hat auch gepasst. nur soll ich jetzt noch beweisen, das die summe von zwei quadraten immer kongruent 0,1,4 oder 7 mod 9 ist.
also nicht an hand von beispielen sondern allgemein.
das krieg ich irgendwie ned so wirklich hin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mo 10.08.2009 | | Autor: | wauwau |
Falsch, denn [mm] 1^2+1^2\equiv2 [/mm] mod 9
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ja stimmt und 5 auch, nur halt nicht 3 und 6. aber wie beweis ich das dann, dass es allgemein gilt?
also das die summe von zwei quadraten mod 9 immer kongruent 0,1,2,4,5,7,8, is???
habs mit beispielen versucht, aber das durfte ich nicht.
und allgemein krieg ich das nicht hin!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Di 11.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Tabelle war nicht fuer spezielle Beispiele gedacht sondern fuer die Faelle x,y gerade usw. das sind nicht Bsp. sondern allgemein.
geh aehnlich vor wie bei der anderen aufgabe.
Gruss leduart
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naja ich habs so gemacht, und dann hieß es nur, ich soll zeigen,
dass [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] kongruent 1,2,4,5,7,0 mod 9 ist.
und wie ich das machen soll versteh ich ned ganz.
muss ich dann auch unterscheiden nach x gerade und ungerade, analog dann für y?
und wenn ich dass dann ausrechne und alles mache, dann kann ich irgendwie trotzdem ned zeigen, dass das so gilt.
komm damit einfach nicht weiter.
alle andern aufgaben hab ich jetzt gut lösen können nur diese eine nicht.
vielleicht steh ich ja irgendwie aufm schlauch oder so!
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> naja ich habs so gemacht, und dann hieß es nur, ich soll
> zeigen,
> dass [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] kongruent 1,2,4,5,7,0 mod 9 ist.
> und wie ich das machen soll versteh ich ned ganz.
Hallo,
Du hast ja sicher schon herausgefunden, daß [mm] x^2 [/mm] kongruent 0,1,4,7 mod 9.
Jetzt schau halt nach, was bei [mm] x^2+y^2 [/mm] herauskommen kann:
0+0
0+1
0+4
0+7
1+0
1+1
1+4
1+7
usw.
Da siehst Du dann, was vorkommen kann.
Gruß v. Angela
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ja doch habs ja schon ausprobiert, aber wie gesagt, halt nur anhand von beispielen, also mit [mm] 1^2 \equiv [/mm] 1, [mm] 2^2 [/mm] kongruent 0, [mm] 5^2 [/mm] kongruent 7 usw.
aber ich solls irgendwie allgemein zeigen, so in der art [mm] x^2 [/mm] kongruent 0,1,2,4,7 und dass weiß ich nicht.
alles andere kann ich jetz schon, nur das allgemeine beweisen, das funktioniert nicht so richtig.
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> ja doch habs ja schon ausprobiert, aber wie gesagt, halt
> nur anhand von beispielen, also mit [mm]1^2 \equiv[/mm] 1, [mm]2^2[/mm]
> kongruent 0, [mm]5^2[/mm] kongruent 7 usw.
> aber ich solls irgendwie allgemein zeigen, so in der art
> [mm]x^2[/mm] kongruent 0,1,2,4,7 und dass weiß ich nicht.
> alles andere kann ich jetz schon, nur das allgemeine
> beweisen, das funktioniert nicht so richtig.
Hallo,
Du hast für x doch 9 Möglichkeiten:
[mm] x\equiv [/mm] 0,
[mm] x\equiv [/mm] 1,
usw.
[mm] x\equiv [/mm] 8,
(Das hat nichts mit "Beispielen" zu tun. Hier sind alle Fälle, die es gibt, gewissenhaft gelistet.)
Und nun quadrierst Du und erhältst???
Gruß v. Angela
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ach gott, man bin ich bl.....
natürlich, also irgendwie bin i etz wirklich voll aufm schlauch gstanden.
danke, etz habs sogar ich gecheckt 
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