Summen aufeinander folgender Z < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 22.04.2013 | | Autor: | hubi92 |
| Aufgabe | | Jede Summe von k aufeinander folgenden Zahlen ist genau dann durch k teilbar, wenn k eine bestimmte Eigenschaft hat. Welche? Beweisen Sie die Regel, indem Sie ohne anschauliche Hilfe algebraisch argumentieren. |
Hallo ihr Lieben!
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Bis jetzt habe ich Gleichungen berechnet, für verschiedene Summenglieder:
2k+1
3k+3
4k+6
5k+10
6k+15
7k+21
8k+28
...
11k+55
37k+666
... daraus habe ich bis jetzt geschlossen, dass k eine Primzahl sein muss, jedoch größer 2...
habe jedoch nicht alle Primzahlen ausprobiert und das ist ja auch kein Beweis.
könnt ihr mir helfen?
Vielen Dank!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Jede Summe von k aufeinander folgenden Zahlen ist genau
> dann durch k teilbar, wenn k eine bestimmte Eigenschaft
> hat. Welche? Beweisen Sie die Regel, indem Sie ohne
> anschauliche Hilfe algebraisch argumentieren.
> Bis jetzt habe ich Gleichungen berechnet, für verschiedene
> Summenglieder:
>
> 2k+1
> 3k+3
> 4k+6
> 5k+10
> 6k+15
> 7k+21
> 8k+28
> ...
> 11k+55
> 37k+666
>
> ... daraus habe ich bis jetzt geschlossen, dass k eine
> Primzahl sein muss, jedoch größer 2...
> habe jedoch nicht alle Primzahlen ausprobiert und das ist
> ja auch kein Beweis.
Für mich sieht das viel komplizierter aus als das, was die Aufgabe fordert.
Ich weiß auch nicht, inwiefern du "Gleichungen" bekommst. Es geht doch nur um Teilbarkeit.
Schlüssel zur Idee / zum Beweis ist es, sich die Zahlen in mathematischer Form hinzuschreiben.
Was sind denn k aufeinanderfolgende Zahlen?
Das bedeutet, wir fangen bei irgendeiner Zahl n an, und von dieser ausgehend betrachten wir noch die (k-1) nächsten Zahlen. Dann haben wir eine Folge von k aufeinanderfolgenden Zahlen.
In der Aufgabe geht es also um folgende Zahlen:
n, n+1, ..., n+(k-1)
mit $n,k [mm] \in \IN$. [/mm] Das sind k aufeinanderfolgende Zahlen.
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Nun geht es um die Summe S von diesen k aufeinanderfolgenden Zahlen.
Das heißt:
S = n + (n+1) + ... + (n+ (k-1))
oder schön mit Summenzeichen aufgeschrieben:
$S = [mm] \sum_{i=0}^{k-1}(n+i)$
[/mm]
Kannst du diese Summe vereinfachen? Dann kann man schon ganz gut sehen, wann diese Summe $S$ durch k teilbar ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | hubi92 |
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
Aber leider komm ich nicht ganz weiter.
Wie kommst du hier auf die (k-1) und was bedeutet das?
> Das bedeutet, wir fangen bei irgendeiner Zahl n an, und von
> dieser ausgehend betrachten wir noch die (k-1) nächsten
> Zahlen. Dann haben wir eine Folge von k
> aufeinanderfolgenden Zahlen.
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Hallo,
> Aber leider komm ich nicht ganz weiter.
>
> Wie kommst du hier auf die (k-1) und was bedeutet das?
Was meinst du damit "Was bedeutet das"?
Kannst du die Frage noch etwas konkretisieren.
Wenn man bei n anfängt zu zählen, darf man nur bis n + (k-1) zählen, weil das dann schon k aufeinanderfolgende Zahlen sind.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 22.04.2013 | | Autor: | hubi92 |
okay, aber wieso k-1? und nicht k+1 oder nur k?
und wie komme ich dann darauf, welche Eigenschaft k haben muss? tut mir echt leid, aber so ganz versteh ichs noch nicht..
das mit n+(n+1)+(n+2)... versteh ich.. so habe ich das ja auch ganz am Anfang gemacht nur das ich statt n k geschrieben habe.
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Hallo,
> okay, aber wieso k-1? und nicht k+1 oder nur k?
Vielleicht reden wir irgendwie aneinander vorbei?
> das mit n+(n+1)+(n+2)... versteh ich.. so habe ich das ja
> auch ganz am Anfang gemacht nur das ich statt n k
> geschrieben habe.
Wenn du den Ansatz n+(n+1)+(n+2)... auch gemacht hast, sehe ich nicht so ganz, wo dein Problem liegt.
In der Aufgabenstellung geht es um die Summe von k aufeinanderfolgenden Zahlen.
Da wird also nicht gesagt, bei welcher Zahl diese "k" aufeinanderfolgenden Zahlen beginnen.
Deswegen nennen wir die Zahl, bei der es beginnt, "n".
Die k aufeinanderfolgenden Zahlen sind dann:
n, n+1, n+2, ..., n+(k-1).
Wenn ich stattdessen
n,n+1,n+2, ..., n+k oder n,n+1,n+2,...,n+(k+1)
nehmen würde, so wären das noch nicht k aufeinanderfolgende Zahlen, sondern k+1 bzw. k+2 Stück. Das entspricht doch gar nicht der Aufgabenstellung!
> und wie komme ich dann darauf, welche Eigenschaft k haben
> muss? tut mir echt leid, aber so ganz versteh ichs noch
> nicht..
Das haben wir bis jetzt auch noch gar nicht gemacht!
Du musst doch erstmal davon überzeugt werden, dass wir unsere k aufeinanderfolgenden Zahlen so darstellen können:
n, n+1, ..., n+(k-1)
Im Ausgangspost habe ich dann geschrieben, dass die Summe lautet:
n + (n+1) + ... + (n + (k-1)).
Die kann jetzt noch vereinfacht werden, und das solltest du machen.
An der Struktur des vereinfachten Terms kann man dann sehen, wann k die Summe teilt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay, aber wieso k-1? und nicht k+1 oder nur k?
>
> und wie komme ich dann darauf, welche Eigenschaft k haben
> muss? tut mir echt leid, aber so ganz versteh ichs noch
> nicht..
kurz und knapp:
Wenn man die Zahlen $n+i$ nun für alle $i=0,...,k-1$ betrachtet, so sind das deswegen
[mm] $k\,$ [/mm] Zahlen, weil die Menge [mm] $\{0,1,2,...,k-1\}$ [/mm] eben [mm] $k\,$ [/mm] Elemente hat.
Mach' Dir doch ein einfaches Beispiel: Wie heißen die k=3 aufeinanderfolgenden
Zahlen, wenn man mit $n=7$ beginnt? Deine Fragen kannst Du Dir anhand
dieses (eines) Beispiels eigentlich auch selbst beantworten...
P.S. Zu Stefans Hinweis/Summe:
[mm] $$\sum_{i=0}^{k-1}(n+i)$$
[/mm]
kannst Du in zwei Summen zerlegen, und die erste ist dann trivial anders
schreibbar, weil halt [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig vom Laufindex [mm] $i\,$ [/mm] ist! Bei der zweiten
hilft der sogenannte kleine Gauß!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jede Summe von k aufeinander folgenden Zahlen ist genau
> dann durch k teilbar, wenn k eine bestimmte Eigenschaft
> hat. Welche?
>
> Beweisen Sie die Regel, indem Sie ohne
> anschauliche Hilfe algebraisch argumentieren.
> Hallo ihr Lieben!
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter und hoffe,
> dass ihr mir helfen könnt.
>
> Bis jetzt habe ich Gleichungen berechnet, für verschiedene
> Summenglieder:
>
> 2k+1
> 3k+3
> 4k+6
> 5k+10
> 6k+15
> 7k+21
> 8k+28
> ...
> 11k+55
> 37k+666
was hast Du Dir hier eigentlich gedacht? Für etwa [mm] $k=2\,$ [/mm] ist $2k+1=5$
und $3k+3=9$... wo sollen da übrigens Gleichungen stehen? (Eine
Gleichung beinhaltet - normalerweise - doch irgendwo sowas wie ein
"="-Zeichen!)
> ... daraus habe ich bis jetzt geschlossen, dass k eine
> Primzahl sein muss, jedoch größer 2...
> habe jedoch nicht alle Primzahlen ausprobiert und das ist
> ja auch kein Beweis.
Du hast auch die Aufgabenstellung anscheinend nicht verstanden!
P.S. Du kannst auch per Induktion (über [mm] $k\,$) [/mm] beweisen
[mm] $$\sum_{i=0}^{k-1} (n+i)=k*(n+\tfrac{k-1}{2})\,.$$
[/mm]
(Dazu sei $n [mm] \in \IZ$ [/mm] (oder [mm] $\IN$ [/mm] oder ...) stets beliebig, aber im Folgenden fest!)
Inwiefern hilft das wohl? (Die gesuchte Regel wird dann offensichtlich!)
Ist aber eigentlich ziemlich unnötig, wenn man Stefans Hinweis nutzt und
den kleinen Gauß kennt...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | hubi92 |
> Hallo,
>
> > Jede Summe von k aufeinander folgenden Zahlen ist genau
> > dann durch k teilbar, wenn k eine bestimmte Eigenschaft
> > hat. Welche?
> >
> > Beweisen Sie die Regel, indem Sie ohne
> > anschauliche Hilfe algebraisch argumentieren.
Das haben wir so in der Uni gemacht. Das habe ich berechnet aus:
> >
> > n+(n+1)= 2n+1
> > n+(n+1)+(n+2)= 3n+3
> > n+(n+1)+(n+2)+(n+3)= 4n+6 usw...
> > 5n+10
> > 6n+15
> > 7n+21
> > 8n+28
> > ...
> > 11n+55
> > 37n+666
Die Aufgabe habe ich verstanden, kann sie allerdings nicht lösen.
> P.S. Du kannst auch per Induktion beweisen
> [mm]\sum_{i=0}^{k-1} (n+i)=k*(n+\tfrac{k-1}{2})\,.[/mm]
>
> Inwiefern hilft das wohl? (Die gesuchte Regel wird dann
> offensichtlich!)
>
> Ist aber eigentlich ziemlich unnötig, wenn man Stefans
> Hinweis nutzt und
> den kleinen Gauß kennt...
>
> Gruß,
> Marcel
Das was du gerade beschrieben hast, oder auch schon Stefan, hatte ich bis jetzt noch nicht und aus diesem Grund wusste ich nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann, bzw verstehe es noch immer nicht. Gibt es keine andere Möglichkeit die Eigenschaft von k zu zeigen?
wenn ich jetzt ein paar Beispiele zeige:
S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+(k-1))
S=5n+6+k-1
müsste k dann in diesem Fall 5 sein? oder liege ich schon wieder völlig daneben?
oder hier:
S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+...+(n+(k-1))
S=8n+21+k-1
und hier müsste k=4 sein?
nur dann kann ich ja auch keine Eigenschaft von k zeigen im Allgemeinen...
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Hallo Hubi,
eigentlich ist Dein Anfang gar nicht so schlecht. Du machst ihn Dir nur dadurch schwer, dass Du die einzige neu eingeführte Variable schlecht benennst, nämlich auch mit k. Dadurch wird es unübersichtlich.
>
> > > Jede Summe von k aufeinander folgenden Zahlen ist genau
> > > dann durch k teilbar, wenn k eine bestimmte Eigenschaft
> > > hat. Welche?
> > >
> > > Beweisen Sie die Regel, indem Sie ohne
> > > anschauliche Hilfe algebraisch argumentieren.
> Das haben wir so in der Uni gemacht. Das habe ich
> berechnet aus:
> > >
> > > n+(n+1)= 2n+1
> > > n+(n+1)+(n+2)= 3n+3
> > > n+(n+1)+(n+2)+(n+3)= 4n+6 usw...
> > > 5n+10
> > > 6n+15
> > > 7n+21
> > > 8n+28
> > > ...
> > > 11n+55
> > > 37n+666
So ist es viel besser.
Also: bei zwei Summanden (d.h. k=2) ist die Summe, wenn man mit n anfängt, 2n+1. Wann ist das durch k=2 teilbar? Nie.
Bei drei Summanden (d.h. k=3) ist die Summe, wieder bei n beginnend, 3n+3. Ist das (für alle n!) durch k=3 teilbar. Ja.
Nun hast Du festgestellt, dass das wohl für alle Primzahlen $p>2$ gilt. Das ist richtig.
Aber schauen wir uns mal k=9 an. Da ist die Summe ja 9n+36. Ist das (für alle n) durch k=9 teilbar? Ja.
Du wirst feststellen, dass die Aussage überhaupt für alle ungeraden k wahr ist.
Das ist nun aber noch zu zeigen.
> Die Aufgabe habe ich verstanden, kann sie allerdings nicht
> lösen.
>
> > P.S. Du kannst auch per Induktion beweisen
> > [mm]\sum_{i=0}^{k-1} (n+i)=k*(n+\tfrac{k-1}{2})\,.[/mm]
> >
> > Inwiefern hilft das wohl? (Die gesuchte Regel wird dann
> > offensichtlich!)
> >
> > Ist aber eigentlich ziemlich unnötig, wenn man Stefans
> > Hinweis nutzt und
> > den kleinen Gauß kennt...
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Das was du gerade beschrieben hast, oder auch schon Stefan,
> hatte ich bis jetzt noch nicht und aus diesem Grund wusste
> ich nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann, bzw verstehe es
> noch immer nicht. Gibt es keine andere Möglichkeit die
> Eigenschaft von k zu zeigen?
Nein, da gibt es keine andere Möglichkeit, es sei denn, Du leitest den "kleinen Gauß" selber her - anders gesagt, die Formel für ![[]](/images/popup.gif) Dreieckszahlen. Der Aufgabensteller ist aber ziemlich sicher davon ausgegangen, dass man diese Formel voraussetzen darf.
> wenn ich jetzt ein paar Beispiele zeige:
>
> S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+(k-1))
> S=5n+6+k-1
Wie kommst du denn darauf? Das ist falsch.
> müsste k dann in diesem Fall 5 sein? oder liege ich schon
> wieder völlig daneben?
Um etwas zu beweisen, genügt es nie, Beispiele zu zeigen, egal wie viele. Selbst wenn Du 23 Millionen richtige Beispiele liefern kannst, ist die Aussage nicht bewiesen und mit beliebig viel weiteren Belegen auch nicht zu beweisen.
> oder hier:
> S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+...+(n+(k-1))
> S=8n+21+k-1
Das ist auch falsch.
> und hier müsste k=4 sein?
>
> nur dann kann ich ja auch keine Eigenschaft von k zeigen im
> Allgemeinen...
Zu zeigen ist, dass [mm] kn+\bruch{k(k-1)}{2} [/mm] nur dann durch k teilbar ist, wenn k ungerade ist.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 22.04.2013 | | Autor: | hubi92 |
Super! Vielen Dank ihr habt mir alle sehr geholfen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hubi,
> > Hallo,
> >
> > > Jede Summe von k aufeinander folgenden Zahlen ist genau
> > > dann durch k teilbar, wenn k eine bestimmte Eigenschaft
> > > hat. Welche?
> > >
> > > Beweisen Sie die Regel, indem Sie ohne
> > > anschauliche Hilfe algebraisch argumentieren.
> Das haben wir so in der Uni gemacht. Das habe ich
> berechnet aus:
> > >
> > > n+(n+1)= 2n+1
> > > n+(n+1)+(n+2)= 3n+3
> > > n+(n+1)+(n+2)+(n+3)= 4n+6 usw...
> > > 5n+10
> > > 6n+15
> > > 7n+21
> > > 8n+28
> > > ...
> > > 11n+55
> > > 37n+666
>
> Die Aufgabe habe ich verstanden, kann sie allerdings nicht
> lösen.
>
> > P.S. Du kannst auch per Induktion beweisen
> > [mm]\sum_{i=0}^{k-1} (n+i)=k*(n+\tfrac{k-1}{2})\,.[/mm]
> >
> > Inwiefern hilft das wohl? (Die gesuchte Regel wird dann
> > offensichtlich!)
> >
> > Ist aber eigentlich ziemlich unnötig, wenn man Stefans
> > Hinweis nutzt und
> > den kleinen Gauß kennt...
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Das was du gerade beschrieben hast, oder auch schon Stefan,
> hatte ich bis jetzt noch nicht und aus diesem Grund wusste
> ich nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann, bzw verstehe es
> noch immer nicht. Gibt es keine andere Möglichkeit die
> Eigenschaft von k zu zeigen?
naja, man kann die Aufgabe "verkürzen", in dem Sinne, dass der Beweis vielleicht
etwas übersichtlicher wird. (Wirklich verkürzt ist das, was ich nun mache, eigentlich
nicht, es ist eher eine Art "Sortierung" von dem, was wir vorher gemacht haben!)
Vorüberlegung:
Seien die [mm] $k\,$ [/mm] aufeinanderfolgenden Zahlen - wie halt hier stets - mit [mm] $n=n+0,\,...,n+(k-1)$
[/mm]
bezeichnet, wobei $n [mm] \in \IZ$ [/mm] fest.
Sei [mm] $S=S_n(k):=n+(n+1)+...+n+(k-1)=\sum_{i=0}^{k-1} (n+i)\,.$ [/mm] Dann gilt (offenbar)
[mm] $$S_n(k)=k*n+(1+2+...+(k-1))\,.$$
[/mm]
Da [mm] $k*n\,$ [/mm] durch [mm] $k\,$ [/mm] teilbar ist, reduziert sich die Behauptung darauf, zu beweisen,
dass [mm] $T_n(k):=1+2+...+(k-1)=\sum_{i=0}^{k-1} i\,$ [/mm] genau dann durch [mm] $k\,$ [/mm] teilbar ist, wenn [mm] $k\,$ [/mm] ungerade ist!
(Es gilt dann nämlich $k [mm] \;|\; S_n(k) \iff [/mm] k [mm] \; [/mm] | [mm] \; T_n(k).$)
[/mm]
Ohne den kleinen Gauß könnte das vielleicht auch gehen, sehe ich aber gerade nicht. Aber
Zahlentheoretiker finden da vielleicht auch andere, schöne und passende Argumente...
(vielleicht sowas wie Argumente, warum ein Algorithmus determiniert und dann kein Rest
bleibt, wenn [mm] $k\,$ [/mm] ungerade ist). Da ich mir erst gerade selbst Zahlentheorie beibringe,
sehe ich das nicht schnell. Der kleine Gauß hilft hier aber ungemein, selbst, wenn man im
zahlentheoretischen Bereich ein "Laie" ist!
Gruß,
Marcel
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