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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zerlege nachfolgende Summe in eine Linearkombination elementarer Summen und stelle ihren Wert als Zahl bzw. als möglichst einfache Formel dar.
$ \summe_{i=1}^{N}1+ \bruch{2}{N} * (\bruch{i+1}{N})^2$
Die Aufgabe steht in einer Vorbereitung auf die Maturitätsprüfung (=Abitur). |
*** nix rumgepostet ***
Ich verwende die Rechenregeln für Summen:
$\summe (a \ + \ b) \ = \ \summe a \ + \ \summe b $
$\summe_{i} a \ * \ b_{i} = a \ * \ \summe_{i} b_{i} $
Ich verwende ausserden folgende weitere 3 "Regeln für elementare Summen", die der Aufgabenstellung beigefügt waren, die ich aber nicht verstehe:
1. $ \summe_{i=1}^{N}1 \ = \ N $
2. $ \summe_{i=1}^{N}i \ = \ \bruch{1}{2} N^2 \ + \ \bruch{1}{2} N $
3. $ \summe_{i=1}^{N}i^2 \ = \ \bruch{1}{3} N^3 \ + \bruch{1}{2} N^2 \ + \ \bruch{1}{6} N $
Ich erhalte - in Übereinstimmung mit Mathematica - folgendes Resultet:
$ \summe_{i=1}^{N}1+ \bruch{2}{N} * (\bruch{i+1}{N})^2 \ =$
$ \summe_{i=1}^{N}1 + \bruch{2}{N} * \summe_{i=1}^{N} \bruch{(i+1)^2}{N^2} =$
$N + \bruch{2}{N^3} ( \summe_{i=1}^{N}i^2 + 2 * \summe_{i=1}^{N}i + \summe_{i=1}^{N}1 )= $
$N + \bruch{2}{N^3} ( \bruch{1}{3}N^3 + \bruch{1}{2}N^2 + \bruch{1}{6}N + N^2 + N + N ) = $
$ N \ + \ \bruch{2}{3} \ + \ \bruch{3}{N} \ + \ \bruch{13}{3 * N^2 $
Ich verstehe nicht, was das grosse N bedeutet und was es mit den "Regeln für elementare Summen" auf sich hat.
Ein Link auf entsprechende Theorie würde mir genügen.
Aus dem sommerlich-menschenleeren Zürich grüsst
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Hallo BeniMuller!
> Zerlege nachfolgende Summe in eine Linearkombination
> elementarer Summen und stelle ihren Wert als Zahl bzw. als
> möglichst einfache Formel dar.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{N}1+ \bruch{2}{N} * (\bruch{i+1}{N})^2[/mm]
>
>
> Die Aufgabe steht in einer Vorbereitung auf die
> Maturitätsprüfung (=Abitur).
> *** nix rumgepostet ***
>
> Ich verwende die Rechenregeln für Summen:
>
>
> [mm]\summe (a \ + \ b) \ = \ \summe a \ + \ \summe b[/mm]
>
> [mm]\summe_{i} a \ * \ b_{i} = a \ * \ \summe_{i} b_{i}[/mm]
>
>
> Ich verwende ausserden folgende weitere 3 "Regeln für
> elementare Summen", die der Aufgabenstellung beigefügt
> waren, die ich aber nicht verstehe:
>
> 1. [mm]\summe_{i=1}^{N}1 \ = \ N[/mm]
Das "groß N" (was oft auch ein "klein n" oder eine beliebige andere Variable ist) ist die letzte Zahl, die für i eingesetzt wird. Normalerweise hat man etwas der Form: [mm] \summe_{i=1}^N(i^2) [/mm] als Beispiel (wo also das i noch in der Summe vorkommt). Dann hieße das, dass du für i jede Zahl von 1 bis N einsetzen musst, also für z. B. N=5: [mm] 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2.
[/mm]
In diesem Fall hier kommt das i gar nicht in der Summe vor, trotzdem soll die Zahl hinter dem Summenzeichen summiert werden, und zwar N-mal - einmal für i=1, einmal für i=2 ... und ein letztes Mal für i=N. Naja, und wenn du die 1 N-mal addierst, erhältst du natürlich N. 
> 2. [mm]\summe_{i=1}^{N}i \ = \ \bruch{1}{2} N^2 \ + \ \bruch{1}{2} N [/mm]
Dass ist die Formel, die schon der kleine Gauß in der Grundschule (oder sogar der ersten Klasse?) herausgefunden haben soll. Als Aufgabenstellung bekam die Klasse vom Lehrer, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, und Gauß schrieb sich die Zahlen so auf:
1+ 2+ 3+...+50+
100+99+98+...+51
Wenn man nun die Zahlen, die untereinander stehen, addiert, erhält man immer 101 - und das 50-mal.
In deinem Fall wäre also das N die 100 - dann hieße die Summe, dass das i addiert werden soll von i=1 bis i=100, also 1+2+3+...+100. N+1 entspricht dann der 101, und [mm] \frac{N}{2} [/mm] entspricht der 50. Insgesamt erhalten wir also: [mm] \summe_{i=1}^N{i}=\frac{N*(N+1)}{2} [/mm] - was etwas umgeformt deiner Formel entspricht.
Das Ganze ist auch eine Standard-Induktions-Aufgabe.
> 3. [mm]\summe_{i=1}^{N}i^2 \ = \ \bruch{1}{3} N^3 \ + \bruch{1}{2} N^2 \ + \ \bruch{1}{6} N [/mm]
Das ist eine ähnliche Formel wie in 2, nur für die Quadrate der Zahlen. Man kann sie auch mit Induktion beweisen.
> Ich verstehe nicht, was das grosse N bedeutet und was es
> mit den "Regeln für elementare Summen" auf sich hat.
Ist es jetzt klar? Einen Link habe ich leider nicht.
Und bist du eigentlich wirklich schon über 50? Soll nicht negativ sein, wundert mich nur, dass sich jemand in dem Alter für solche Mathematik interessiert, die meisten hier, die nicht mehr Student sind, hatten mal etwas mit Mathematik zu tun.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Mi 01.08.2007 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Bastiane
Vielen Dank für Deine schnelle Reaktion.
Das grosse "N" hat mich blind gemacht, so dass ich viel zu weit gesucht habe, etwa bei den Mengen oder im Unendlichen. Tatsächlich sind die ersten beiden "elementaren Regeln" trivial, wenn man sie mit einem kleinen "n" schreibt. Aber natürlich sollte dass ja gar keine Rolle spielen, denn grundsätzlich ist ja jeder Buchstabe als Variable erlaubt.
Vielen Dank dass Du mir die Schuppen von den Augen weggeblasen hast.
Ich hatte mit 20 mal Mathe studiert, aber da gabs noch kein Internet mit Wikipedia und Mathraum, und dann wurde mir das zu trocken und zu kompliziert. Ich habe dann zur Philosophie gewechselt.
Dann habe ich 30 Jahre lang als Autor, Cutter und Regisseur Filme und Multumediaprogramme gestaltet. 10 abendfüllende haben es ins Kino gebracht. Da ich aber davon nicht leben kann, unterrichte ich jetzt Berufsschüler und gebe Mathe Nachhilfe.
Mehr findest Du auf meiner Homepage beni.ch
Gruss aus Zürich
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