Summe von Münzwurf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
| Aufgabe | | Ein Spieler A besitzt n (faire) Münzen und ein Spieler B n+1 (faire) Münzen. Beide werfen ihre Münzen hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B häufiger Kopf wirft als Spieler A? |
Hey,
also ich hab schon eine Überlegung, die zu ziemlich viel rumrechnen führt und bevor ich, dass mache würde ich ersteinmal gerne wissen ob das richtig überlegt ist!
Also wenn A und B Zufallsvariablen sind, die die jeweilige Summe von Würfen beschreibt bei denen Kopf erscheint, sind die ja Binomialverteilt. (wegen Summe von Bernoulliexperiment)
Dann suchen wir: $P(A<B)$
Meiner Meinung nach gilt: $P(A<B) = [mm] \summe_{i=0}^{n+1} P(A
Wenn das so stimmt könnte man die Binomialverteilung für A und B benutzen oder?
Naja, danke schonmal!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Fr 12.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, der Laufindex ist $k$, sonst sieht das aber gut aus.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> also ich hab schon eine Überlegung, die zu ziemlich viel
> rumrechnen führt
deshalb empfehle ich eine Symmetrieüberlegung, die ohne viel Rumrechnen zum Ergebnis [mm] p=\bruch{1}{2} [/mm] für die gesuchte Wahrscheinlichkeit führt.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Fr 12.07.2013 | | Autor: | luis52 |
> deshalb empfehle ich eine Symmetrieüberlegung, die ohne
> viel Rumrechnen zum Ergebnis [mm]p=\bruch{1}{2}[/mm] für die
> gesuchte Wahrscheinlichkeit führt.
>
Das mag stimmen, wenn $A$ und $B$ gleich oft werfen. Hier jedoch ist [mm] $P(B=n+1)=\frac{1}{2^{n+1}}\ne0=P(A=n+1)$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
doch, es stimmt, weil die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen Wurf von A genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit für den komplementären Wurf (Kopf und Zahl vertauscht) von A.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Fr 12.07.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
>
> doch, es stimmt, weil die Wahrscheinlichkeit für
> irgendeinen Wurf von A genauso groß ist wie die
> Wahrscheinlichkeit für den komplementären Wurf (Kopf und
> Zahl vertauscht) von A.
>
Ah ja, da stand ich etwas auf dem Schlauch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Danke erstmal für die schnellen Antworten, das mit dem Index stimmt natürlich.. Ich rechne das gleich mal und schreib dann noch was ich habe. Vielen dank erstmal..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Also wenn ich jetzt mal an der Stelle weiterrechne müsste doch eigentlich [mm] $\sum_{k=o}^{n+1}P(A
Oder stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
zwei Fehler :
statt $ [mm] \sum_{k=o}^{n+1}P(A
ist $ [mm] \sum_{k=o}^{n+1}P(A
richtig.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Danke, dass du mir so schnell hilfst das erspart mir auf jeden Fall eine Menge Ärger. Ok mal schaun, dass der Index nur bis n-1 geht versteh ich, wegen <. Aber warum [mm] $2^n$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Ich meinte k-1 :).. Bei meiner Klausur muss ich mich mehr konzentrieren sonst wird das nichts
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
es muss [mm] 2^n [/mm] sein, weil A alle seine n Münzen wirft und nicht nur k Stück davon.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Hey,
danke für die Erklärung ich hab das jetzt mal weitergerechnet:
t $ [mm] \sum_{k=o}^{n+1}P(A
Geht das überhaupt noch weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Die Rechnung kann z.B. folgendermaßen weitergehen :
p = $ [mm] \sum_{k=1}^{n}\bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{i=0}^{k-1}\vektor{n \\ i}\vektor{n+1 \\ k}\right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{k-1}\vektor{n \\ i}\vektor{n+1 \\ k} +2^n\right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{k-1}\vektor{n \\ n-i}\vektor{n+1 \\ n+1-k} +2^n\right) [/mm] $
setze k' = n-k+1 und i' = n-i
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k'=1}^{n}\sum_{i'=n-(k-1)}^{n}\vektor{n \\ i'}\vektor{n+1 \\ k'} +2^n\right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k'=1}^{n}\sum_{i'=k'}^{n}\vektor{n \\ i'}\vektor{n+1 \\ k'} +2^n\right) [/mm] $
lasse Striche weg
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=k}^{n}\vektor{n \\ i}\vektor{n+1 \\ k} +2^n\right) [/mm] $
addiere die zweite und die letzte Zeile
2p = $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{k-1}\vektor{n \\ i}\vektor{n+1 \\ k} +2^n\right) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=k}^{n}\vektor{n \\ i}\vektor{n+1 \\ k} +2^n\right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}\vektor{n+1 \\ k} +2*2^n\right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\vektor{n+1 \\ k}\sum_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} +2*2^n\right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}\left(\sum_{k=1}^{n}\vektor{n+1 \\ k}*2^n +2*2^n\right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}*2^n*\left(\sum_{k=1}^{n}\vektor{n+1 \\ k} +2\right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}*2^n*\left(\sum_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k} \right) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}*2^n*2^{n+1} [/mm] $
= 1
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Vielen Dank dafür...
Dass die Wahrscheinlichkeit 1/2 ist hab ich mir dank deinem Tipp mit der Symmetrie auch schon gedacht. Ich glaub dass das auf jeden Fall schneller geht wenn man einfach besser argumentiert und das nicht alles durchrechnet :D
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