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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Sa 27.05.2006 | | Autor: | EasyLee |
| Aufgabe | | Bestimme den Grenzwert von [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} ln(1-\bruch{1}{k^2}) [/mm] |
Hi! Kann mir dabei jemand helfen bitte. Ich komme nicht weiter.
[mm] =\summe_{k=2}^{ \infty} ln(1-\bruch{1}{k^2})
[/mm]
[mm] =\summe_{k=2}^{n} [/mm] ln(k+1) + [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] ln(k-1) - [mm] 2\summe_{k=2}^{n} [/mm] ln(k)
[mm] =\summe_{k=3}^{n+1} [/mm] ln(k) + [mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] ln(k) - [mm] 2\summe_{k=2}^{n} [/mm] ln(k)
Das ist leider alles. Was soll ich jetzt weiter tun?
Ich könnte doch 2ln(2) aus der letzten Summe ziehen und aus der 1 ersten
das n+1 Glied entfernen oder? Ich blicks nicht wirklich. Danke!
Gruß
EasyLee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 28.05.2006 | | Autor: | EasyLee |
Hallo!
Erst mal danke für die Hilfe! Ich habe aber ein Problem mit der Antwort.
Es kann ja sein das ich mich irre, aber was man hier bei dieser Aufgabe
macht beruht doch auf dem Satz:
Eine Reihe [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_k [/mm] konvergiert genau dann
wenn dieReihe d.h. die Folge der Partialsummen beschränkt ist.
Diese Partialsummen sind doch endlich. Wie gesagt, kann ja sein das ich
da was verdrehe oder nicht verstanden habe, jedoch wenn ich es so
mache wie geraten fehlen Terme.
Ich komme nach deiner Rechnung auf lim 3ln(2).
Der Grenzwert sollte aber [mm] -\bruch{1}{36}-\bruch{3}{2}ln(3)+3ln(2) [/mm] sein.
Evtl. hab ja auch was falsch gemacht. Please help.
Gruß
EasyLee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mo 29.05.2006 | | Autor: | EasyLee |
Hallo!
So ist das. Ich darf die obere grenze [mm] \infty [/mm] beibehalten, und kann die
Rechnung hierdurch vereinfachen, da ich mich nicht mehr um die obere
Grenze kümmern muss sondern nur noch den Startindex angleichen muss.
Um aber überhaupt als Greenhorn zu sehen was passiert ist es doch so
finde ich etwas besser:
= [mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] ln(k) - [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] ln(k) - [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] ln(k) + [mm] \summe_{k=3}^{n+1} [/mm] ln(k)
= ln(1) + [mm] \summe_{k=2}^{n-1} [/mm] ln(k) - ln(n) - [mm] \summe_{k=2}^{n-1} [/mm] ln(k)
- ln(2) - [mm] \summe_{k=3}^{n} [/mm] ln(k) + [mm] \summe_{k=3}^{n} [/mm] ln(k) + ln(n+1)
= ln(n+1) - ln(n) - ln(2) =l n(n+1) - (ln(n)+ln(2))
= ln(n+1) - ln(2n)
= [mm] ln(\bruch{n+1}{2n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} ln(\bruch{n+1}{2n}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{2})
[/mm]
So etwa hab ich mir das gedacht. Auf das gleiche Ergebnis sollte man
kommen wenn man [mm] \infty [/mm] als obere Grenze beibehält. Mein
Resultat von gestern ist wohl falsch, und wie Maple auf diesen
anderen Grenzwert kommt ist mir auch schleierhaft.
Evtl. hat jemand eine Idee.
Gruß
EasyLee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo EasyLee!
Dein unten gezeigter Lösungsweg ist ebenfalls richtig und gut! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit erhältst Du wie bei meiner Variante als Lösung [mm] $\ln\left(\bruch{1}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\ln(2) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.693$ .
Gruß
Loddar
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Logarithmusgesetze