Summe dreier Quadrate < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 03.09.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jede natürliche Zahl N der Form [mm] 2^{k} [/mm] oder [mm] 5\* 2^{k} [/mm] mit k [mm] \in \IN_{0} [/mm] lässt sich nicht als Summe dreier nichtverschwindender Quadratzahlen darstellen. |
Hallo,
mein Problem bei der obigen Aufgabe ist, das "nichtverschwindend". Wir haben im Skript einen Satz, dass eine Zahl genau dann als Summe dreier Quadrate darstellbar ist, wenn man sie nicht in der Form [mm] 4^{a}(8b+7) [/mm] darstellen kann mit a,b [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Allerdings ist im Gegensatz zu unserer Aufgabe in diesem Satz auch [mm] 0^{2} [/mm] als Quadrat zugelassen, sodass uns dieser momentan nicht viel bringt. Hat da jemand von Euch eine Idee?
Vielen Dank schon mal!
Gruß Leni
|
|
| |
|
Hallo,
sry wegen des Blocks, probier mal den Ansatz, dass die linke Seite gerade sein muss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:15 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
habe ich was falsch verstanden oder heißt die Aufgabe nicht ausgeschrieben
[mm] 2^{k}<>a^{2}+b^{2}+c^{2}? [/mm] Diese ließe sich sehr elementar lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Fr 04.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> habe ich was falsch verstanden oder heißt die Aufgabe
> nicht ausgeschrieben
> [mm]2^{k}<>a^{2}+b^{2}+c^{2}?[/mm]
Wenn das $<>$ ein [mm] $\neq$ [/mm] sein soll, ja.
> Diese ließe sich sehr elementar lösen.
Je nachdem was man unter "elementar" versteht ;)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Dann muss man nur annehmen die linke Seite sei gerade, d.h. sie besteht entweder aus zwei [mm] ungeraden(a^{2}, b^{2}) [/mm] und einer geraden Zahl oder drei geraden Zahlen.
Dann sind ebenfalls a,b,c ungerade bzw gerade und es ergibt sich im ersten Fall: [mm] 4n^{2} +4n+1+4m^{2}+4m+1+4r^{2} =2^{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2(n^{2}+n+m^{2}+m+r^{2}) +1=2^{k-1} [/mm] f.A. da [mm] 2^{k-1} [/mm] gerade ist (für [mm] 5*2^{k} [/mm] existiert auch keine Lösung, für k=1 wird probiert)
2.Fall [mm] 4n^{2}+4m^{2}+4r^{2}=2^{k} [/mm] bzw [mm] 5*2^{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n^{2}+m^{2}+r^{2}=2^{k-2} [/mm] bzw [mm] 5*2^{k-2}
[/mm]
Dies wird solange wiederholt bis da steht:
[mm] n^{2}+m^{2}+r^{2}=\begin{cases} 1, & \mbox{bzw 5} \\ 2, & \mbox{bzw 10} \end{cases} [/mm] (keine Lösung)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Sa 05.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dann muss man nur annehmen die linke Seite sei gerade, d.h.
> sie besteht entweder aus zwei [mm]ungeraden(a^{2}, b^{2})[/mm] und
> einer geraden Zahl oder drei geraden Zahlen.
> Dann sind ebenfalls a,b,c ungerade bzw gerade und es
> ergibt sich im ersten Fall: [mm]4n^{2} +4n+1+4m^{2}+4m+1+4r^{2} =2^{k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2(n^{2}+n+m^{2}+m+r^{2}) +1=2^{k-1}[/mm] f.A. da
> [mm]2^{k-1}[/mm] gerade ist (für [mm]5*2^{k}[/mm] existiert auch keine
> Lösung, für k=1 wird probiert)
>
> 2.Fall [mm]4n^{2}+4m^{2}+4r^{2}=2^{k}[/mm] bzw [mm]5*2^{k}[/mm]
> [mm]\Rightarrow n^{2}+m^{2}+r^{2}=2^{k-2}[/mm] bzw [mm]5*2^{k-2}[/mm]
> Dies wird solange wiederholt bis da steht:
> [mm]n^{2}+m^{2}+r^{2}=\begin{cases} 1, & \mbox{bzw 5} \\ 2, & \mbox{bzw 10} \end{cases}[/mm]
> (keine Lösung)
Das ist genau das gleiche was ich auch vorgeschlagen hab, nur ohne Modulo 4 und dafuer mit $4 k + r$ eingesetzt formuliert 
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 So 06.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo Felix,
na da habe ich mir noch was anzuschauen...
lese halt grad ein Buch vom Spektrum nebenbei durch xD
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
> Zeigen Sie: Jede natürliche Zahl N der Form [mm]2^{k}[/mm] oder [mm]5\* 2^{k}[/mm]
> mit k [mm]\in \IN_{0}[/mm] lässt sich nicht als Summe dreier
> nichtverschwindender Quadratzahlen darstellen.
>
> Hallo,
> mein Problem bei der obigen Aufgabe ist, das
> "nichtverschwindend". Wir haben im Skript einen Satz, dass
> eine Zahl genau dann als Summe dreier Quadrate darstellbar
> ist, wenn man sie nicht in der Form [mm]4^{a}(8b+7)[/mm] darstellen
> kann mit a,b [mm]\in \IN_{0}.[/mm] Allerdings ist im Gegensatz zu
> unserer Aufgabe in diesem Satz auch [mm]0^{2}[/mm] als Quadrat
> zugelassen, sodass uns dieser momentan nicht viel bringt.
> Hat da jemand von Euch eine Idee?
Schau dir doch mal den Beweis dazu an, dass [mm] $4^a [/mm] (8 b + 7)$ nicht als Summe dreier Quadrate darstellbar ist.
Dazu betrachtet man doch erstmal den Fall $a = 0$ modulo 8. Dann nimmt man an $a > 0$, schaut sich das modulo 4 an, und fuehrt dies auf den Fall $a - 1$ zurueck.
Hier hast du jetzt nicht [mm] $4^a$, [/mm] sondern [mm] $2^k$. [/mm] Betrachte also erstmal die Faelle $k = 0, 1$ von Hand: das ist ja relativ einfach.
Dann nimm an $a [mm] \ge [/mm] 2$, und fuer es aehnlich wie in dem Beweis auf den Fall $a - 2$ zurueck (indem du es modulo 4 anschaust).
Das sollte eigentlich funktionieren.
LG Felix
|
|
|
|
