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Summe - Int[Sin(t)/t,0,Infty]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Do 27.09.2012
Autor: ThomasTT

Und zwar ist ja bekannt, dass [mm] $\int_{0}^\infty \frac{sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}$. [/mm]

Ist es "legal" dann [mm] $t=\frac{m}{n}$ [/mm] zu setzen und das Integral als Doppelsumme
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty \frac{\sin(\frac{m}{n})}{\frac{m}{n}}$$ [/mm]
zu schreiben?

Oder kann man irgendwo ansetzen und zeigen, dass die Summe beispielsweise divergiert? Dann wäre es ja definitiv nicht gleich.
        
Bezug
Summe - Int[Sin(t)/t,0,Infty]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Do 27.09.2012
Autor: M.Rex

Hallo

> Und zwar ist ja bekannt, dass [mm]\int_{0}^\infty \frac{sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}[/mm].
>  
> Ist es "legal" dann [mm]t=\frac{m}{n}[/mm] zu setzen und das
> Integral als Doppelsumme
>  [mm]\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty \frac{\sin(\frac{m}{n})}{\frac{m}{n}}[/mm]
>  
> zu schreiben?

Nein, denn dann würdest du viele mathematische Regeln brechen, was die Lineariät des Sinus, oder die Bruchrechung angeht nurzen.
>  
> Oder kann man irgendwo ansetzen und zeigen, dass die Summe
> beispielsweise divergiert? Dann wäre es ja definitiv nicht
> gleich.

Dieses Integral ist das sogenannte "Sine-Integral" (auf deutsch "Integralsinus".
Eine recht knappe Erklärung zu dem Thema findest du bei der []Wikipedia, ausführlichere Informationen dazu findest du bei mathworld.wolfram.com, genauer gesagt[]hier sowie []hier.

Der Trick ist, die Potenzreihe des Sinus zu nutzen:

[mm]\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]

Marius

Bezug
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