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| Aufgabe | Sei die Funktion f : [mm] (0,\infty) \to \IR [/mm] gegeben durch:
[mm] f(x) := \integral_{t-1}^{x²}{\bruch{ln(tx)}{1+t} dt} [/mm] für x > 0
Geben Sie f'(x) für x [mm] \in (0,\infty) [/mm] an. |
Halli Hallo erstmal an alle.
Das ist die Aufgabe. Das Witzige: ich habe auch die Lösung:
[mm] f'(x) = \integral_{t+1}^{x²}{\bruch{1}{x(1+t)} dt} + \bruch{6x}{1+x²} ln x [/mm]
[mm] = \bruch{1}{x} ln (\bruch{1+x²}{2}) + \bruch{6x}{1+x²} ln x [/mm]
nur leider versuch ich seit zwei Tagen vergeblich das was dazwischen kommt rauszubekommen. Verrenn mich immerwieder in irgend nem anderen Ansatz... Kann mir jemand sagen, ob am Ende Lösung falsch ist!? Und wenn nicht, mir einigermaßen vernünftig erklären, wie man von A nach B kommt!? ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Di 12.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei die Funktion f : [mm](0,\infty) \to \IR[/mm] gegeben durch:
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> [mm]f(x) := \integral_{t-1}^{x²}{\bruch{ln(tx)}{1+t} dt}[/mm] für x
> > 0
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> Geben Sie f'(x) für x [mm]\in (0,\infty)[/mm] an.
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> Halli Hallo erstmal an alle.
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> Das ist die Aufgabe. Das Witzige: ich habe auch die
> Lösung:
>
> [mm]f'(x) = \integral_{t+1}^{x²}{\bruch{1}{x(1+t)} dt} + \bruch{6x}{1+x²} ln x[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{x} ln (\bruch{1+x²}{2}) + \bruch{6x}{1+x²} ln x[/mm]
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> nur leider versuch ich seit zwei Tagen vergeblich das was
> dazwischen kommt rauszubekommen. Verrenn mich immerwieder
> in irgend nem anderen Ansatz... Kann mir jemand sagen, ob
> am Ende Lösung falsch ist!? Und wenn nicht, mir
> einigermaßen vernünftig erklären, wie man von A nach B
> kommt!? ;)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
nach Logarithmengesetzen ist ln(tx) =ln t + ln x.
Hilft das weiter?
Gruß Abakus
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Hallo Abakus,
okay, dann hier doch mal mein Ansatz, soweit wie ich ihn für richtig halte. Hatte ihn eigentlich weggelassen um unbefangene Antworten zu bekommen, aber bei Gegenfragen, bleibt mir wohl keine Wahl ;) :
erstmal Vereinfachung / Aufteilung:
[mm] f(x) = \integral_{t-1}^{x²}{\bruch{ln t}{1+t} + \bruch {ln x}{1+t} dt} [/mm]
[mm] f(x) = lnx \integral_{t-1}^{x²}{\bruch{1 + ln t}{1+t} dt} = lnx \integral_{t-1}^{x²}{\bruch{1}{1+t} dt} + \integral_{t-1}^{x²}{\bruch{ln t}{1+t} dt} [/mm]
Und nun zur Stammfunktion:
[mm] F(x) = ln x * (ln |1+t|) + \integral_{t-1}^{x²}{\bruch{ln t}{1+t} dt} [/mm]
Der Rest ist bei mir absolut experimentell... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 12.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Rulekicker,
den ersten Schritt, das Teilen des Integrals, hast du ja schon gemacht:
[mm] $f(x)=\ln(x)\int_{t-1}^{x^2}\frac{1}{t+1}dt+\int_{t-1}^{x^2}\frac{\ln(t)}{t+1}$
[/mm]
Das erste Integral kannst du einfach ausrechnen. Da die Funktion nur für $t>0$ definiert ist [mm] ($\ln(tx)$ [/mm] im Zähler), kannst du da die Betragsstriche weglassen.
[mm] $\ln(x)\int_{t-1}^{x^2}\frac{1}{t+1}dt=\ln(x)*\left[\ln(x^2+1)-\ln(t)\right]$ [/mm] (Diesen Ausdruck musst du für später noch nach $x$ ableiten)
Das zweite Integral würd ich erstmal stehen lassen und mir folgendes überlegen:
Du willst ja die Ableitung von dem Ganzen berechnen... (Ich betrachte jetzt nur das zweite Integral)
[mm] $\frac{d}{dx}\left(\int_{t-1}^{x^2}\frac{\ln(t)}{t+1}dt\right)=\frac{d}{dx}\left[F(x^2)-F(t-1)\right]=\frac{d}{dx}F(x^2)-\underbrace{\frac{d}{dx}F(t-1)}_{=0\text{, da unabh. von }x}=F'(x^2)*2x=\frac{\ln(x^2)}{x^2+1}*2x$
[/mm]
(Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion; $F'(x)$ ist die Ableitung dieser Stammfunktion, also der Integrand mit [mm] $t=x^2$. [/mm] Der Faktor $2x$ kommt durch die Kettenregel zustande.)
So, jetzt musst du alles nur noch zusammenfügen: die Ableitung des ersten, ausgerechneten Integrals und das Ergebnis der Überlegung.
Wenn du beachtest, dass [mm] $\ln(x^2)=2*\ln(x)$, [/mm] kommst du auch zum gewünschten Ergebnis.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Di 12.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Sorry, hab nicht ganz zu Ende gedacht....
Das "gewünschte Ergebnis" ist meiner Meinung nach nicht das, was du angegeben hast. Nach meiner Rechnung müsste die "2" im Nenner des ersten Logarithmus' ein "t" sein, also
[mm] $\frac{1}{x}\ln\left(\frac{x^2+1}{t}\right)+\frac{6x\ln(x)}{x^2+1}$
[/mm]
Man könnte noch Gebrauch von [mm] $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ [/mm] machen.
(Maple bestätigt übrigens mein Ergebnis)
Nochmal lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Di 12.05.2009 | | Autor: | Rulekicker |
Soweit war ich grad noch garnich im nachvollziehen, aber das sind dann eh Abweichungen, die sagen wir mal verschmerzbar sind... Der Kerngedanke des Lösungswegs, den Du vorgeschlagen hast, ist auf jeden Fall das was mir fehlte... Danke nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Di 12.05.2009 | | Autor: | Rulekicker |
Sehr elegant dem ganzen Kauderwelsch das in meinem Block schon mehr als 8 Seiten füllt aus dem Weg gegangen! Sehr schöner und vorallem verständlicher Ansatz...
1000 Dank
Rulekicker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Allgemein:
Nimm an f ist Dir gegeben in der Form
$f(x) = [mm] \integral_{a}^{\phi(x)}{g(t) dt}$
[/mm]
wobei g stetig und [mm] \phi [/mm] differenzierbar ist.
Ist nun G eine Stammfunktion von g, so gilt:
$f(x) = [mm] G(\phi(x)) [/mm] -G(a)$
Mit der Kettenregel folgt:
$f'(x) = [mm] G'(\phi(x))*\phi'(x) [/mm] = [mm] g(\phi(x))*\phi'(x)$
[/mm]
FRED
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