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Wir haben im Skript zwei Substitutionsregeln kennengelernt.
Ich verstehe zwar grundsätlich wie Integrations durch Substitution funktioniert und das klappt eigentlich auch ganz gut bei den meisten Aufgaben.
Jedoch sehe ich den Unterschied der zwei Substitutionsregeln im Skript nicht.
Substitutionsregel I
Vor.: $I [mm] \subset \mathbb{R}$ [/mm] Intervall, $h: I [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] stetig differenzierbar, $f : h(I) [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] stetig, $a,b [mm] \in [/mm] I$.
Beh.:
(a) [mm] \integral{(f \circ h)h' } [/mm] = [mm] (\integral [/mm] f) [mm] \circ [/mm] h := [mm] \{F \circ h \mid F \in \integral f\}
[/mm]
(b) [mm] \integral_{a}^{b}{(f \circ h')h'} [/mm] = [mm] \integral_{h(a)}^{h(b)}{f} [/mm]
Substitutionsregel II
Vor.:[/u] $I [mm] \subset \mathbb{R}$ [/mm] Intervall, $h: I [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] stetig differenzierbar und injektiv, $f : h(I) [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] stetig, [mm] $\alpha ,\beta \in [/mm] h(I)$.
Beh.:
(a) [mm] \integral{f} [/mm] = [mm] (\integral{(f \circ h)}) \circ h^{-1} [/mm] := [mm] \{G \circ h^{-1} \mid G \in \integral {(f \circ h)h'}\}
[/mm]
(b) [mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{f} [/mm] = [mm] \integral_{h^{-1}(\alpha)}^{h^{-1}(\beta)}{(f \circ h)\circ h'}
[/mm]
Mir fällt auch keine Aufgabe ein wo wir explizit Regel 1 oder Regel 2 dran geschrieben haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mo 07.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben im Skript zwei Substitutionsregeln kennengelernt.
> Ich verstehe zwar grundsätlich wie Integrations durch
> Substitution funktioniert und das klappt eigentlich auch
> ganz gut bei den meisten Aufgaben.
> Jedoch sehe ich den Unterschied der zwei
> Substitutionsregeln im Skript nicht.
>
> Substitutionsregel I
> Vor.: [mm]I \subset \mathbb{R}[/mm] Intervall, [mm]h: I \to \mathbb{R}[/mm]
> stetig differenzierbar, [mm]f : h(I) \to \mathbb{R}[/mm] stetig, [mm]a,b \in I[/mm].
>
> Beh.:
>
> (a) [mm]\integral{(f \circ h)h' }[/mm] = [mm](\integral[/mm] f) [mm]\circ[/mm] h :=
> [mm]\{F \circ h \mid F \in \integral f\}[/mm]
>
> (b) [mm]\integral_{a}^{b}{(f \circ h')h'}[/mm] =
> [mm]\integral_{h(a)}^{h(b)}{f}[/mm]
Das erste $h'$ soll ein $h$ sein, oder?
> Substitutionsregel II
> Vor.:[/u] [mm]I \subset \mathbb{R}[/mm] Intervall, [mm]h: I \to \mathbb{R}[/mm]
> stetig differenzierbar und injektiv, [mm]f : h(I) \to \mathbb{R}[/mm]
> stetig, [mm]\alpha ,\beta \in h(I)[/mm].
>
> Beh.:
> (a) [mm]\integral{f}[/mm] = [mm](\integral{(f \circ h)}) \circ h^{-1}[/mm] :=
> [mm]\{G \circ h^{-1} \mid G \in \integral {(f \circ h)h'}\}[/mm]
>
> (b) [mm]\integral_{\alpha}^{\beta}{f}[/mm] =
> [mm]\integral_{h^{-1}(\alpha)}^{h^{-1}(\beta)}{(f \circ h)\circ h'}[/mm]
Nun, der Unterschied ist doch recht offensichtlich: mal wird auf der einen Seite transformiert, mal auf der anderen. Bei der Regel I brauchst du nur eine stetig diffbare Funktion $h$, und bei Regel II muss diese injektiv sein.
Regel II erhaelst du aus Regel I, indem du (a) mit [mm] $h^{-1}$ [/mm] verkettest (und $h [mm] \circ h^{-1} [/mm] = id$ ausnutzt), und indem du bei (b) jeweils die Grenzen $a, b, h(a), h(b)$ durch [mm] $\alpha [/mm] = h(a)$, [mm] $\beta [/mm] = h(b)$ ersetzt und dann schreibst $a = [mm] h^{-1}(\alpha)$, [/mm] $b = [mm] h^{-1}(\beta)$, [/mm] und dies einsetzt.
Teil (b) der Regeln folgt jedesmal auch direkt aus Teil (a).
> Mir fällt auch keine Aufgabe ein wo wir explizit Regel 1
> oder Regel 2 dran geschrieben haben.
Je nachdem in welche Richtung man transformiert nimmt man halt Regel I oder Regel II. Welche gemeint ist sieht man ja an der Ausgangsform.
LG Felix
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