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Berechnen Sie (Substitution):
[mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{dt}{ \wurzel{1+t^2}}}
[/mm]
irgendwie komme ich mit substituion nicht klar. ich weiß nur das ich die gleichung so schreiben kann: [mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1+t^2}} [/mm] * dt}.
ich weiß aber nicht was mir das bringen soll!kann mir da jemand bitte helfen,wäre super
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Hallo,
also bei der Substitutionsmethode ersetzt (substituiert) man einen Teil des Ausdruckes. Formal gesehen: Sei das Integral [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ zu berechnen. Sei nun [mm] $x=\phi(t)$, [/mm] bzw. [mm] $t=\phi^{-1}(x)=\psi(x)$. [/mm] Dann gilt
[mm] $\int f(x)dx=\int f(\phi(t))\phi'(t)dt$
[/mm]
bzw.
[mm] $\int f(x)dx=\int \frac{f(\phi(t))}{\psi'(\phi(t))}dt$.
[/mm]
Beispiel (aus Bronnstein, et. al, "Taschenbuch der Mathematik"):
Sei [mm] $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$, [/mm] d.h. berechne Integral [mm] $\int \frac{x}{1+x^2}dx$. [/mm] Sei [mm] $t=1+x^2$ $\Rightarrow$ $\frac{dt}{dx}=2x$. [/mm] Damit:
[mm] $\int\frac{x}{1+x^2}dx=\int\frac{1}{2t}dt=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$.
[/mm]
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Gruß
Matthias
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