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Substitution DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Di 05.04.2011
Autor: rumsbums

Aufgabe
Hey nochmal eine DGL:

[mm] y'=sin(\bruch{y}{x})+\bruch{y}{x} [/mm]


da hab ich wieder substituiert:

[mm] u=\bruch{y}{x} [/mm]

y=xu
y'=u+x*u'

gleichgestellt:

sin(u)+u=u+x*u'       / -u

sin(u)=x*u'  

[mm] sin(u)=x*\bruch{du}{dx} [/mm]       /*dx  

dx*sin(u)=x*du                 /  :sin(u)  / :x


[mm] \bruch{dx}{x}=\bruch{du}{sin(u)} [/mm]


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{sin(u)}*du} [/mm]

[mm] ln|Cx|=ln|sin(\bruch{u}{2})|-ln|cos(\bruch{u}{2})| [/mm]       /umkehrfunktion e

[mm] Cx=sin(\bruch{u}{2})-cos(\bruch{u}{2}) [/mm]

und wie mache ich jetzt weiter?

Die Lösung lautet laut buch: 2x*arctan(Cx)?




        
Bezug
Substitution DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Di 05.04.2011
Autor: MathePower

Hallo rumsbums,

> Hey nochmal eine DGL:
>  
> [mm]y'=sin(\bruch{y}{x})+\bruch{y}{x}[/mm]
>  
> da hab ich wieder substituiert:
>  
> [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm]
>  
> y=xu
>  y'=u+x*u'
>  
> gleichgestellt:
>  
> sin(u)+u=u+x*u'       / -u
>  
> sin(u)=x*u'  
>
> [mm]sin(u)=x*\bruch{du}{dx}[/mm]       /*dx  
>
> dx*sin(u)=x*du                 /  :sin(u)  / :x
>  
>
> [mm]\bruch{dx}{x}=\bruch{du}{sin(u)}[/mm]
>  
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{sin(u)}*du}[/mm]
>  
> [mm]ln|Cx|=ln|sin(\bruch{u}{2})|-ln|cos(\bruch{u}{2})|[/mm]      
> /umkehrfunktion e

>  
> [mm]Cx=sin(\bruch{u}{2})-cos(\bruch{u}{2})[/mm]


Hier muss doch stehen:

[mm]Cx=\bruch{sin(\bruch{u}{2})}{cos(\bruch{u}{2})}[/mm]


>  
> und wie mache ich jetzt weiter?
>
> Die Lösung lautet laut buch: 2x*arctan(Cx)?
>  


Gruss
MathePower

Bezug
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