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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 08.06.2004 | | Autor: | Neo |
Ich habe hier ein Problem bei meiner Matheschularbeit. Wir haben ein Beispiel aufbekommen das nach Angaben der Lehrerin durch Substitution gelöst werden kann. Leider schaff ich es nicht wirklich es zu lösen. Hoffe ihr habt vielleicht ein paar Anregungen für mich wie ich es schaffen könnte.
[mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 08.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Neo,
> [mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx[/mm]
Ich gebe dir mal einen kleinen Tip, wenn du nicht weiter kommst, dann melde dich noch mal:
[mm]f(x) = tan (2x)[/mm]
[mm]f'(x) = 2*((tan^2(2x))+1)[/mm]
eigentlich müsstest du damit weiter kommen...
Viele Grüße
Bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 10.06.2004 | | Autor: | Neo |
Könntest du das etwas genauer beschreiben. Geh davon aus das ich eine volle Niete in Mathe bin. DANKE
mfg Neo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Do 10.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
ich glaube, der Hinweis von Bernhard hat was mit der "partiellen Integration" zu tun.
Mein Formelbuch gibt da sowas her:
$ [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)g'(x) dx} = [mm] f(x)g(x)|_{a}^{b} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {g(x)f'(x) dx}$
und irgendwie passt das doch auf den Hinweis, oder?
Setze [mm] $f(x)=\tan(2x)$ [/mm] und [mm] $g'(x)=2*((\tan^2(2x))+1)$
[/mm]
Dann wäre Deine Aufgabe lösbar mit
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x)*(1+tan^2(2x)) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}}{f(x)*\bruch{1}{2}g'(x) dx}
[/mm]
Wenn ich mich nicht irre, kann man ja bei der Integralrechnung gewisse Konstanten rausziehen:
= [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}}{f(x)*g'(x) dx}
[/mm]
So, jetzt nur noch einsetzen und mit der Formel ausrechen.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 10.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
da das Thema "Substitution" heißt, war mein Hinweis mehr in Richtung Substitution gemeint.
Noch mal die Aufgabe:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x) * (1 + (tan(2x))^2) dx}[/mm]
Die allgemeine Formel für die Substitution lautet:
[mm]\integral_{a}^{b} {f(g(x)) * g'(x) dx} = \integral_{g(a)}^{g(b)} {f(z) dz}[/mm]
Als g(x) wählen wir nun [mm]g(x) = tan(2x)[/mm], also [mm]g'(x) = 2 * ((tan(2x))^2 + 1)[/mm].
Jetzt müssen wir die ursprüngliche Fomel etwas umstellen, damit wir die Substitution anwenden können:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x) * (1 + (tan(2x))^2) dx} = \bruch{1}{2} * \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {tan(2x) * 2 * (1 + (tan(2x))^2) dx}[/mm]
Also folgt jetzt:
[mm]\bruch{1}{2} * \integral_{0}^{\bruch{\pi}{8}} {\underbrace{tan(2x)}_{g(x)} * \underbrace{2 * (1 + (tan(2x))^2)}_{g'(x)} dx} = \bruch{1}{2} * \integral_{g(0)}^{g(\bruch{\pi}{8})} {z\ dz}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{2} * |\bruch{z^2}{2}|^{tan(2*\bruch{\pi}{8})}_{tan(2*0)} = \bruch{1}{2} * (\bruch{(tan(2*\bruch{\pi}{8}))^2}{2} - \bruch{(tan(2*0))^2}{2}) = \bruch{1}{2} * (\bruch{1}{2} - \bruch{0}{2}) = \bruch{1}{4}[/mm]
So, das sollte es sein  Guck es dir mal an...
Grüße
Bernhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 10.06.2004 | | Autor: | Emily |
> Ich habe hier ein Problem bei meiner Matheschularbeit. Wir
> haben ein Beispiel aufbekommen das nach Angaben der
> Lehrerin durch Substitution gelöst werden kann. Leider
> schaff ich es nicht wirklich es zu lösen. Hoffe ihr habt
> vielleicht ein paar Anregungen für mich wie ich es schaffen
> könnte.
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx[/mm]
>
Du ersetzt f(x) = z = tan(2x) f´(x) = z´= 2 [mm] ((tan^2(2x)+1) [/mm]
Grenzen: f(0) = tan(0)=0 und [mm] f(\pi/8) [/mm] = [mm] tan(\pi/4) [/mm] = 1 z´= dz/dx d. h. dz = 2 [mm] ((tan^2(2x)+1) [/mm] dx
[mm]\integral_{0}^{\pi /8} \tan2x*(1+\tan^2 2x)\,dx[/mm] =1/2[mm]\integral_{0}^{1} \ z\,dz[/mm] = [mm] [1/4z^2] [/mm] = 1/4
P.S. Es fehlen die oberen Grenzen, ich hab Probleme mit drr Darstellung.
Kommt noch.
Gruß Emily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Do 10.06.2004 | | Autor: | Neo |
Ich danke euch allen. Es ist wunderbar das es viele Leute gibt die helfen. DANKE
mfg Neo
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