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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{e^{2x+5}e^{x}}{e^{3-2x}} dx} [/mm] |
Hallo,
sitze vor einem Übungsblatt zum Thema Integration durch Substitution. Hab auch schon die ein oder andere Aufgabe lösen können, aber bei obiger weiß ich absolut nicht, was ich substituieren soll. Normalerweise versucht man es doch mit dem Nenner, weil der beim Integrieren oft das größere Problem darstellt. Auf jeden Fall muss ich an dem Ausdruck etwas umbauen, evtl. logarithmieren oder die e hoch zerlegen.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 19.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
Hier benötigst Du (zunächst) keine Substitution. Fasse die genazen Terme erst mittels  Potenzgesetzen zusammen.
Gruß
Loddar
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Hallo loddar,
die Idee hatte ich auch schon, nur bin ich da nicht voran gekommen.
Hier nun nochmal:
aus [mm] \bruch{e^{2x+5}e^{x}}{e^{3-2x}} [/mm] wird [mm] e^{5x+2}
[/mm]
-> [mm] \integral{e^{5x+2}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}e^{5x+2}+c
[/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Di 19.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo loddar,
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> die Idee hatte ich auch schon, nur bin ich da nicht voran
> gekommen.
> Hier nun nochmal:
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> aus [mm]\bruch{e^{2x+5}e^{x}}{e^{3-2x}}[/mm] wird [mm]e^{5x+2}[/mm]
>
> -> [mm]\integral{e^{5x+2}dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}e^{5x+2}+c[/mm]
>
> Richtig?
Hallo,
durch Ableiten deines Ergebnisses kannst du dich schnell überzeigen, dass das Integral stimmt.
Gruß Abakus
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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{lnx}{x\wurzel{1+lnx}}dx} [/mm] |
O.K., super. Hab da noch eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß. Thema ist ja nach wie vor Substitution.
Hatte die Idee den Ausdruck in der Wurzel zu substituieren, t=1+lnx, abgeleitet ergibt das x, wieder eingesetzt, entsteht folgendes Integral:
[mm] \integral{\bruch{lnx}{\wurzel{t}}dt}
[/mm]
Den lnx kann ich vor das Integral ziehen, so dass ich nur noch [mm] lnx\integral{\bruch{1}{\wurzel{t}}dt} [/mm] integrieren muss. Das ergibt dann [mm] {\bruch{1}{2}}(\wurzel{1+lnx})
[/mm]
Da hänge ich jetzt irgendwie fest.
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Hallo,
das sieht ganz so aus, als solltest Du besser [mm] z=\wurzel{1+\ln{x}} [/mm] substituieren.
lg
reverend
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Hallo reverend,
ich substituiere [mm] t=\wurzel{1+lnx}, [/mm] das leite ich nach der Kettenregel ab und erhalte [mm] \bruch{1}{2x\wurzel{1+lnx}}, [/mm] wieder eingesetzt ergibt [mm] \integral{\bruch{lnx}{xt}2x\wurzel{1+lnx}dt}, [/mm] x und 2x kürzen, dann könnte ich doch alle Teile ohne t vor das Integral ziehen und erhalte [mm] lnx2\wurzel{1+lnx}\integral {\bruch{1}{t}dt}, [/mm] integriert ergibt das [lnt], zusammen und rücksubstituiert [mm] 2lnx\wurzel{1+lnx}ln(\wurzel{1+lnx})+c.
[/mm]
Wo liegt der Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mi 20.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend,
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> ich substituiere [mm]t=\wurzel{1+lnx},[/mm] das leite ich nach der
> Kettenregel ab und erhalte [mm]\bruch{1}{2x\wurzel{1+lnx}},[/mm]
> wieder eingesetzt ergibt
> [mm]\integral{\bruch{lnx}{xt}2x\wurzel{1+lnx}dt},[/mm] x und 2x
> kürzen, dann könnte ich doch alle Teile ohne t vor das
> Integral ziehen und erhalte [mm]lnx2\wurzel{1+lnx}\integral {\bruch{1}{t}dt},[/mm]
> integriert ergibt das [lnt], zusammen und rücksubstituiert
> [mm]2lnx\wurzel{1+lnx}ln(\wurzel{1+lnx})+c.[/mm]
>
> Wo liegt der Fehler?
Du solltest Dir die Substitutionsregel nochmal anschauen. Oben gehts ja drunter und drüber.
Also : $ [mm] t=\wurzel{1+lnx},$ [/mm] somit $2dt = [mm] \bruch{dx}{x\wurzel{1+lnx}}$ [/mm] und $lnx = [mm] t^2-1$.
[/mm]
Dann erhälst Du: [mm] $\integral_{}^{}{\bruch{lnx}{x\wurzel{1+lnx}} dx}= 2\integral_{}^{}{(t^2-1) dt}$
[/mm]
FRED
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Hallo fred97,
da habe ich wahrlich einiges durcheinandergebracht, konnte deinen Ausführungen aber sehr gut folgen.
Jetzt noch eine Frage zum eigentlichen Integral.
[mm] 2\integral_{}^{}{(t^2-1) dt} [/mm] -> [mm] \bruch{2}{3}t^{3}-2t+c [/mm] und rücksubstituiert ergibt das dann [mm] \bruch{2}{3}(\wurzel{1+lnx})^{3}-2\wurzel{1+lnx}+c [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> [mm]2\integral_{}^{}{(t^2-1) dt}[/mm] -> [mm]\bruch{2}{3}t^{3}-2t+c[/mm] und
> rücksubstituiert ergibt das dann
> [mm]\bruch{2}{3}(\wurzel{1+\ln{x}})^{3}-2\wurzel{1+\ln{x}}+c[/mm] ?
ja, genau.
Du kannst es aber auch so schreiben: [mm] 2\wurzel{1+\ln{x}}+\bruch{1}{3}\ln{x}+\hat{C}
[/mm]
lg
reverend
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> Hallo nochmal,
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> > [mm]2\integral_{}^{}{(t^2-1) dt}[/mm] -> [mm]\bruch{2}{3}t^{3}-2t+c[/mm] und
> > rücksubstituiert ergibt das dann
> > [mm]\bruch{2}{3}(\wurzel{1+\ln{x}})^{3}-2\wurzel{1+\ln{x}}+c[/mm] ?
>
> ja, genau.
>
> Du kannst es aber auch so schreiben:
> [mm]2\wurzel{1+\ln{x}}+\bruch{1}{3}\ln{x}+\hat{C}[/mm]
>
> lg
> reverend
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Das sehe ich so nicht bzw. kann es nicht nachvollziehen. In meiner Musterlösung steht: [mm] \bruch{2}{3}\wurzel{1+lnx}(-2+lnx)+c [/mm]
???
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Hallo,
dann überprüfs doch mal. Schreib zwischen zwei Ausdrücke, deren Gleichheit Du nicht verstehst, versuchsweise ein Gleichheitszeichen und führe dann so lange Äquivalenzumformungen durch, bis Du die Gleichheit gezeigt oder widerlegt hast - tertium non datur.
Tipp: [mm] \wurzel{1+\ln{x}}^3=(1+\ln{x})\wurzel{1+\ln{x}}
[/mm]
Viel mehr habe ich nicht angewendet, und die Musterlösung auch nicht.
Noch ein Tipp: alle absoluten Glieder kannst Du in der Integrationskonstante zusammenfassen.
lg
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
ln(x) kannst du nicht einfach rausziehen!
Du hast ja t=ln(x)+1, also ist ln(x)=t-1.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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