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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Keywey |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mit einer geeigneten Substitution
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{5*x²+x}{2*x-1} dx} [/mm] |
In meinem Mathebuch steht man kommt durch Training und Intuition auf die passende Substitution, ich scheitere aber an dieser Aufgabe... könnte mir jemand sagen welche Substitution ich verwenden muss?
Liebe Grüße, Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kevin!
Bevor hier an Substitution zu denken ist, musst Du den Bruch umformen, da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad.
Führe also eine  Polynomdivision [mm] $\text{Zähler} [/mm] \ : \ [mm] \text{Nenner}$ [/mm] durch.
Anschließend solltest Du mit der Substitution $z \ := \ 2x-1$ ans Ziel kommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Keywey |
Daran hatte ich anfangs auch gedacht, die idee wurde aber schnell zerschlagen weil ich die polynomdivision nicht hinbekomme.
(5*x²+x)/(2*x+1)=2,5*x-0,75
-(5x²+2,5x)
___________
-1,5*x
-(-1,5*x-0,75)
___________
0,75
beachte ich irgendein Rechengesetz nicht?
gruß Kevin
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Hallo Kevin,
> Daran hatte ich anfangs auch gedacht, die idee wurde aber
> schnell zerschlagen weil ich die polynomdivision nicht
> hinbekomme.
>
> (5*x²+x)/(2*x+1)=2,5*x-0,75
Hmm, im Ausgangspost steht aber [mm] $(5x^2+x):(2x\red{-}1)$ [/mm] ...
> -(5x²+2,5x)
> ___________
> -1,5*x
> -(-1,5*x-0,75)
> ___________
> 0,75
>
> beachte ich irgendein Rechengesetz nicht?
Wenn dort im Nenner wirklich "+" stand, hast du alles richtig gemacht und kannst nun [mm] $\int{\frac{5x^2+x}{2x+1} \ dx}$ [/mm] schreiben als [mm] $\int{\left(2,5x-0,75+\frac{0,75}{2x+1}\right) \ dx}$
[/mm]
Integrale sind additiv, dh. du kannst genauso die Summe der einzelnen Integrale berechnen:
[mm] $=\int{..}-\int{...}+\frac{3}{4}\cdot{}\int{\frac{1}{2x+1} \ dx}$
[/mm]
Die ersten beiden Integrale sind klar, für die Berechnung des letzten kannst du nun linear substituieren: $u=u(x):=2x+1$
Falls im Nenner doch ein "-" stand, geht es ganz genauso, lediglich das Ergebnis der Polynomdivision ist natürlich ein anderes, die Substitution am Ende ist entsprechend $u=2x-1$
>
> gruß Kevin
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Keywey |
Danke für die schnelle Hilfe, ich habe mich im 2. post verschrieben, das tut mir wirklich leid =/ es sollte "-" heißen,
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{5*x²+x}{2*x-1} dx}=5,5+0,875*ln(3)
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 6,461
:)
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