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Hallo hab probleme bei der Substituion.
[mm] \integral_{0}^{ln 2}{ e^x / e^x + 1 dx} [/mm]
g(x)= [mm] e^x [/mm] +1
g´(x)= [mm] e^x
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{ln 2}{ 1 / e^x + 1 * e^x dx} [/mm]
= f(g(x)) * g´(x) dx = [mm] \integral_{2}^{3}{ 1 / z dz} [/mm]
jetzt muss ich die Stammfunktion bilden oder?
stimmt das so?
Gruß Desperado
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Desperado!
Wenn du ein Integral von einem Bruch berechnen sollst, bei dem im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, geht das ganz schnell hiermit:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{g'(x)}{g(x)} dx} [/mm] = ln |g(x)|
d.h. [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^x}{e^x + 1} dx} [/mm] = ln | [mm] e^x [/mm] + 1|
da wie du schon geschrieben hast g(x) = [mm] e^x [/mm] + 1 und g'(x) = [mm] e^x.
[/mm]
da musst du dann natürlich noch deine grenzen einsetzen!
wenn du [mm] e^x [/mm] direkt substituieren möchtest :
[mm] e^x [/mm] = z
[mm] e^x [/mm] dx = dz, d.h. dx= [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] dz
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^x}{e^x + 1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^x}{z + 1} \bruch{1}{e^x} dz} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z + 1} dx} [/mm] = ln |z+1| = ln [mm] |e^x [/mm] + 1|
... und grenzen einsetzen nicht vergessen!
viele grüße
riley :=)
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Hallo,
danke für deine Antwort!
woher weißt du das z = [mm] e^x [/mm] ist?
wenn ich ln [mm] (e^x [/mm] + 1 ) zur probe ableite,kommt aber nicht meine ausgangsfunktion raus.
Gruß Desperado
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 So 21.05.2006 | | Autor: | Desperado |
Hallo,
du hast recht. Das ist die richtige Stammfunktion,aber woher weiß ich das z = [mm] e^x [/mm] ist?
Gruß Desperado
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
du musst halt schauen, dass du so substituieren tust, dass das integral hinterher einfacher wird!
so kürzt sich das [mm] e^x [/mm] raus, und du hast nur noch z+1 im nenner.
in diesem fall könntest du auch z = [mm] e^x [/mm] +1 substituieren:
dz = [mm] e^x [/mm] dx
dx= [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] dz , dann kürzt es sich auch raus. kannst es gerne mal auf diesem weg berechnen, sollte das gleiche rauskommen! :)
viele grüße riley
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