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| Aufgabe | | [mm] \integral [/mm] (2x-1) [mm] \wurzel{7x^2-7x-1} [/mm] dx |
Hallo,
ich substituiere z= [mm] (7x^2) [/mm] - 7x -1, jedoch komme ich nicht weiter. Könnte mir jemand weiterhelfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Di 11.02.2014 | | Autor: | wauwau |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
du substituierst
$z^2=7x^2-7x-1$
dann durch Ableitung
$2zdz=(7.2.x-7) dx$ und Umformung
$\frac{2}{7}zdz = (2x-1)dx$ und daher
$\integral{(2x-1)\sqrt{7x^2-7x-1}dx = \integral{ \frac{2}{7}z\sqrt{z^2}}dz=\frac{2}{7}\integral{z^2}=\frac{2z^3}{21}$
dann nur mehr resubstituieren...
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Hallo,
ich habe den Teil mit der Ableitung nicht verstanden. Wie kommst du auf 2zdz und 7.2 x etc.?
Gruß
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe den Teil mit der Ableitung nicht verstanden. Wie
> kommst du auf 2zdz und 7.2 x etc.?
Die Punkte sind Multiplikationszeichen.
Es geht um die Ableitung nach x der Gleichung:
[mm]z^2=7x^2-7x-1[/mm]. Beachte, dass [mm]z[/mm] eine Funktion in [mm]x[/mm] ist, also [mm]z=z(x)[/mm], da steht linkerhand also [mm](z(x))^2[/mm]
Differentiation nach x ergibt:
[mm]2\cdot{}z(x)\cdot{}z'(x)=7\cdot{}2\cdot{}x-7[/mm]
Mit [mm]z'(x)=\frac{dz}{dx}[/mm] folgt die Gleichung aus dem obigen post ...
>
> Gruß
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
das ist also einfach die Ableitung dz/dx=14x-7, aber den Rest habe ich immernoch nicht verstanden.
Gruß
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Hallo,
> Hallo,
>
> das ist also einfach die Ableitung dz/dx=14x-7, aber den
> Rest habe ich immernoch nicht verstanden.
Du musst mal nicht so ein allgemeines Wischiwaschigelulle fragen.
Was genau hast du nicht verstanden?
Wenn dir das mit der Substitution [mm] $z^2=...$ [/mm] zu hoch ist, nimm deine ursprüngliche Substitution.
In beiden Fällen kürzt sich da was raus, so dass ein einfaches Integral entsteht.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hi,
also bis zur Ableitung komme ich auch, aber den Rest habe ich überhaupt nicht verstanden. Wie kommt man auf 2zdz oder 2/7. Nachdem man die Ableitung ausgerechnet hat, muss man das Ganze ein bisschen vereinfachen. Aus den einzelnen Schritten werde ich nicht schlau.
Gruß
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> also bis zur Ableitung komme ich auch, aber den Rest habe
> ich überhaupt nicht verstanden. Wie kommt man auf 2zdz
> oder 2/7. Nachdem man die Ableitung ausgerechnet hat, muss
> man das Ganze ein bisschen vereinfachen. Aus den einzelnen
> Schritten werde ich nicht schlau.
Habe ich dir doch geschrieben ...
Du liest die Antworten nicht, du greifst nix auf und sagst nur "kapier ich nicht"
So kann man nicht konstruktiv helfen...
Bis zu [mm] $2z(x)z'(x)=7\cdot{}2x-7$ [/mm] hast du das verstanden, sagst du.
Dann sagte ich: "Schreibe für [mm] $z'=\frac{dz}{dx}$"
[/mm]
Der Rest ist doch einfachste Bruchrechnung ...
Alles mal dx, dann kommst du auf $2zdz=(7*2x-7)dx$
Und nach dx auflösen ...
Dann im Integral einsetzen ...
Das ist doch fast Schulstoff, du schreibst in deinem Profil, dass du Student der Mathe bist ...
Well, well ...
Ein bisschen Eigeninitiative und Rumprobieren bzw. Nachrechnen, wie wauwau auf seine Terme kommt, ist doch nicht zuviel verlangt
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hallo,
die Lösungsschritte sind so aufgeschrieben, dass die auch von denjenigen direkt verstanden werden, die diese Aufgabe lösen können. Ich weiß aber nicht welche Umformungen man machen muss, um darauf zu kommen. Das heißt, dass mir die zwei Zeilen Lösung nichts bringen. Die Lösung habe ich ja, ich will aber die Schritte verstehen. Für dich mag das ja einfach sein, aber wenn ich nicht weiß, welche Schritte ich nun befolgen muss, kann ich auch nichts ausrechnen und das hat dann auch gar nichts damit zu tun, ob ich Mathestudent oder noch Schüler bin.
Dass man die Ableitung bilden, das Ganze integrieren und rücksubstituieren muss, weiß ich, aber wieso bei der Ableitung die 2zdz steht weiß ich immernoch nicht und vorallem ein Schritt davor [mm] z^2. [/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Di 11.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo xxela89xx!
> Für dich mag das
> ja einfach sein, aber wenn ich nicht weiß, welche Schritte
> ich nun befolgen muss, kann ich auch nichts ausrechnen und
> das hat dann auch gar nichts damit zu tun, ob ich
> Mathestudent oder noch Schüler bin.
Doch! Gerade als Student sollte man sich schon etwas Eigeninitative und auch Verbeissen in eine Aufgabe zulegen.
Aber es kamen dann nur sehr unkonkrete Rückfragen bzw. "verstehe ich nicht".
Hier ist wichtig mitzuteilen: Was genau verstehst Du nicht. Bis wohin ist es Dir klar?
> Dass man die Ableitung bilden, das Ganze integrieren und
> rücksubstituieren muss, weiß ich, aber wieso bei der
> Ableitung die 2zdz steht weiß ich immernoch nicht und
> vorallem ein Schritt davor [mm]z^2.[/mm]
Aha, also liegt der Hase schon ein paar Bäume vorher im Pfeffer.
Das [mm] $z^2$ [/mm] ergibt sich aus der gewählten Substitution (siehe hier).
Man kann hier auch eine andere Subsitution wählen; z.B. wie von Dir oben.
Und das [mm] $2z*\mathrm{dz}$ [/mm] wurde Dir hier ausführlich erläutert.
Gruß
Loddar
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Hallo,
sorry, aber das könnt ihr ja nicht beurteilen, ob ich die Aufgaben nachrechne oder nicht. Keiner zwingt euch, mir zu helfen, ich möchte nur eine gute Lösung mit einer Beschreibung des Ganzen, weil ich aus den Posts vorher nicht schlau wurde. Ich habe es aus den Erläuterungen nicht verstanden, das ist alles. Und meine Rückfragen waren alle ganz deutlich, falls ihr euch das noch einmal durchlesen würdet. Naja.Die alten Lösungswege hier noch einmal zu verlinken und zu sagen,dass ich das und das und das wissen muss, hilft mir auch nicht weiter. Ich habe nur gesagt, dass ich das aus den Beschreibungen nicht verstanden habe. Ich will die Aufgabe verstehen und nicht diskutieren.
Also noch einmal die Frage:
Die Ableitung ist 14x-7, wie forme ich das Ganze um, um (2x-1) zu substituieren?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Di 11.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also noch einmal die Frage:
> Die Ableitung ist 14x-7, wie forme ich das Ganze um, um
> (2x-1) zu substituieren?
Es gilt:
$14x-7=7(2x-1)$
Hilft das? Ansonsten muss ich wohl den ganzen Thread nochmal
lesen oder ein anderer antwortet dir sicher gleich. 
DieAcht
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Hi,
danke dir, mein Problem war die 2auf der linken Seite der Gleichung. Es wurde gesagt, dass
[mm] Z^2 [/mm] = [mm] 7x^2 [/mm] -7x -1 und
2zdz = (7*2x-7) sei.
Wieso quadriert man hier das z und woher kommt die 2?
Gruß
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Hallo,
> Hi,
>
> danke dir, mein Problem war die 2auf der linken Seite der
> Gleichung. Es wurde gesagt, dass
> [mm]Z^2[/mm] = [mm]7x^2[/mm] -7x -1 und
> 2zdz = (7*2x-7) sei. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das wurde nicht gesagt!
Du liest die Antworten also doch nicht!
Oder du kannst nicht abschreiben.
Beides ist nicht gut ...
Es zeigt, dass wir recht haben und du nicht genau genug arbeitest.
Wie genau sollen wir dir denn helfen?
Wie stellst du dir das konkret vor? Was sollen wir für dich tun?
Noch genauer kann man das nicht aufschreiben, zumal du das ja nicht mal richtig liest oder abschreibst.
Das gibt uns das Gefühl, dass dir unsere Hilfe scheißegal ist.
Da können wir ja auch gleich die Wand anmalen ...
>
> Wieso quadriert man hier das z und woher kommt die 2?
Die von wauwau vorgeschlagene Substitution mit dem [mm]z^2[/mm] ist nur eine Möglichkeit, das zu lösen.
Deine Substitution klappt auch. Wenn du damit besser klar kommst, nimm die.
Aber ich wiederhole mich.
Die 2 kommt von der Ableitung von [mm](z(x))^2[/mm] nach x.
Das ist per Potenz- und Kettenregel:
[mm]2\cdot{}(z(x))^{2-1}\cdot{}z'(x)=2zz'[/mm]
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hallo,
ich habe das dx hinter der Klammer vergessen, aber das wurde gesagt.
Wenn du der Ansicht bist, dass ich die Antworten nicht lese, wieso schreibst du dann. Dann kannst du ja wirklich gehen und die Wände in deiner Wohnung anmalen.'beides ist nicht gut' :D danke für die Beurteilung. Ich muss echt lachen. Wenn du das Gefühl Hast, dass es mir egal ist, dann verstehe ich wirklich nicht wieso du hier nochmal weiterschreibst, lass es doch einfach, ich habe besseres zu tun als Posts von Leuten zu lesen, in denen sie sich hochpushen und Leute, die auf Hilfe angewiesen sind, runtermachen. Naja ist auch egal.
Die Lösungsschritte kann ich immernoch nicht nachvollziehen :)
Gruß
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Hi,
> Hallo,
>
> ich habe das dx hinter der Klammer vergessen, aber das
> wurde gesagt.
Aha, das dx ist aber wesentlich!
> Wenn du der Ansicht bist, dass ich die Antworten nicht
> lese, wieso schreibst du dann. Dann kannst du ja wirklich
> gehen und die Wände in deiner Wohnung anmalen.'beides ist
> nicht gut' :D danke für die Beurteilung.
Gerne
> Ich muss echt
> lachen. Wenn du das Gefühl Hast, dass es mir egal ist,
> dann verstehe ich wirklich nicht wieso du hier nochmal
> weiterschreibst, lass es doch einfach, ich habe besseres zu
> tun als Posts von Leuten zu lesen, in denen sie sich
> hochpushen und Leute, die auf Hilfe angewiesen sind,
> runtermachen.
Ich will niemanden runtermachen, aber was du mitunter anbietest, ist halt schon hart ...
> Naja ist auch egal.
> Die Lösungsschritte kann ich immernoch nicht
> nachvollziehen :)
An welcher Stelle denn nicht? Das verschweigst du beharrlich.
Auch darauf hatte ich hingewiesen.
Je weniger ein Fragesteller auf Hinweise eingeht, desto schnippischer werden meine Antworten, denn die Erfahrung hier im Forum lehrt, dass das nicht von ungefähr kommt ...
Und ich bin lange genug dabei.
So nun zum Rechnerischen:
Die Kettenregel kennst du doch? Also sollte nun klar sein, wieso da linkerhand [mm]2zdz[/mm] steht ...
Insgesamt steht dann da:
[mm]2zdz=7(2x-1)dx[/mm] und das durch 7 geteilt:
[mm]\red{\frac{2}{7}z \ dz \ =} \ \red{(2x-1) \ dx}[/mm]
Der rote Term wird nun im Ausgangsintegral ersetzt:
Beachte nochmal: [mm]\blue{z^2=7x^2-7x-1}[/mm] war die Substitution, das ersetzen wir auch:
[mm]\int{\red{(2x-1)}\cdot{}\sqrt{\blue{7x^2-7x-1}} \ \red{dx}} \ = \ \int{\sqrt{\blue{z^2}}\cdot{}\red{\frac{2}{7}z \ dz}[/mm]
Das kannst du verrechnen zu [mm]\frac{2}{7}\cdot{}\int{z^2 \ dz}[/mm]
Dies nun berechnen und am Ende resubstituieren
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Di 11.02.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo,
also, ehrlich gesagt, habe ich das jetzt richtig gut verstanden,w eil du das ausführlicher beschrieben hast. Vielen Danke an alle!
Gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> also, ehrlich gesagt, habe ich das jetzt richtig gut
> verstanden,w eil du das ausführlicher beschrieben hast.
Ok, dann ist unser Ziel erreicht 
Wenn du magst, kannst du ja zur Übung mal deine ursprüngliche Version der Substitution hernehmen, also [mm] $z=z(x)=7x^2-7x-1$ [/mm] und das Integral auf die Art berechnen.
Es sollte am Ende dasselbe herauskommen.
Wenn du also noch Zeit hast ...
Dann bekommst du ein Gefühl dafür und siehst, welcher Weg vllt. der einfachere ist ...
> Vielen Danke an alle!
>
> Gruß
Schönen Abend noch
schachuzipus
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Hallo,
deine Substitution klappt genauso.
Es wird sich [mm]2x-1[/mm] rauskürzen und ein Integral [mm]K\cdot{}\int{z^{1/2} \ dz}[/mm] bleiben, das du ja eben schon gelöst hast ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 11.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich hatte selbst sehr große Probleme vor zwei Jahren damit,
aber es ist wirklich nicht so schwierig wie es aussieht.
Mach dir folgendes wirklich bewusst:
[mm] f'(x)=\frac{df}{dx}
[/mm]
Dennoch will ich dir mal den "sturen" Weg ohne [mm] $z^2$ [/mm] zeigen.
Wir wollen folgendes berechnen:
[mm] \integral{(2x-1)\sqrt{7x^2-7x-1} dx}
[/mm]
Mit der Substitution
[mm] z:=7x^2-7x-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{dz}{dx}=14x-7=7(2x-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow dx=\frac{dz}{7(2x-1)}
[/mm]
folgt
[mm] \integral{(2x-1)\sqrt{7x^2-7x-1} dx}=\integral{(2x-1)\sqrt{z}(\frac{dz}{7(2x-1)})}=\frac{1}{7}\integral{\sqrt{z}dz}=\frac{1}{7}\integral{z^{\frac{1}{2}}dz}=\frac{1}{7}*\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{21}z^{\frac{3}{2}}+C.
[/mm]
Mit der Rücksubstitution erhalten wir folgendes:
[mm] \integral{(2x-1)\sqrt{7x^2-7x-1} dx}=\frac{2}{21}z^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{21}(7x^2-7x-1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{21}\sqrt{(7x^2-7x-1)^3}+C=:F(x).
[/mm]
Das können wir nun auch testen.
[mm] F'(x)=\frac{2}{21}*\frac{3}{2}*(7x^2-7x-1)^{\frac{1}{2}}*(7x^2-7x-1)'=\frac{1}{7}*\frac{3}{2}*(7x^2-7x-1)^{\frac{1}{2}}*7(2x-1)=(2x-1)\sqrt{7x^2-7x-1}.
[/mm]
Der andere Weg ist auf jeden Fall eleganter. Du solltest dir
wirklich nochmal den anderen Weg komplett durchlesen und vor
Allem verstehen. Es ist sehr wichtig, dass du ohne Probleme
mit Ableitungen rechnen kannst.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Di 11.02.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo,
ich danke dir, genau das wollte ich von Anfang an wissen. Du hast das richtig gut beschrieben. Vielen vielen Dank!!!!!!!
Schönen Abend noch
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Di 11.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo xxela89xx!
Das ist jetzt aber ein klein wenig unfair. Genau dieser Weg wurde Dir bereits um 16:20h bestätigt (nur halt nicht haarklein vorgekaut vorgerechnet).
Zumal das auch mit Abstand nicht die erste Integration mittels Substitution war.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Di 11.02.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hi,
ihr hattet das ja ein bisschen anders erklärt, im Endeffekt habt ihr mir alle echt super weitergeholfen, nur dieser Post hat das Ganze noch einmal zusammengefasst. Vielleicht ist das jetzt auch so, weil ihr mir alle das schön super erklärt habt und durch diesen Post dann alles auf den Punkt gebracht wurde.
Ich danke euch allen für eure Mühe!
Gruß
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