Substituation bei Integralen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Di 20.02.2007 | | Autor: | kermit |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale
[mm] \integral_{0}^{2}(\bruch{6x-3}{(x²-x+2)²})dx [/mm] |
Ich hab einige Probleme mit der Substiatution von Integralen und würde gerne wissen, wie man bei der obigen Funktion die Stammfunktion bildet.
Danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo kermit!
Ist Dir denn die grundsätzliche Vorgehensweise bei der Substitution klar?
Klammere im Zähler den Wert $3_$ aus und substituiere: [mm] $\blue{z \ := \ x^2-x+2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 2x-1$ [mm] $\gdw$ $\red{dx \ = \ \bruch{dz}{2x-1}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{\bruch{6x-3}{\left(x^2-x+2\right)^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{3*(2x-1)}{\left(\blue{x^2-x+2}\right)^2} \ \red{dx}} [/mm] \ = \ [mm] 3*\integral{\bruch{(2x-1)}{\blue{z}^2} \ \red{\bruch{dz}{2x-1}}} [/mm] \ = \ ...$
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Entweder am Ende resubstituieren oder die Integrationsgrenzen umrechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:35 Di 20.02.2007 | | Autor: | kermit |
gut, dass haben wir verstanden, aber wie gehts weiter :> ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Di 20.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo kermit,
schreib mal auf, wie sich das neue Integral darstellt - wenn Fehler drin sind korrigieren wir sie gerne 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 20.02.2007 | | Autor: | kermit |
Naja, wir kommen nicht so recht weiter mit der Antwort vom Roadrunner. Wir haben jetzt sogar partielle Integration so gerade verstanden, jetzt feht nur noch die Substituation :).
Der Bruch mit dem dz im Zähler verwirrt mich etwas :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Di 20.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
kein Problem, dann schreiben wir das anders auf:
[mm] $\integral{\bruch{6x-3}{\left(x^2-x+2\right)^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{3*(2x-1)}{\left(\blue{x^2-x+2}\right)^2} \ \red{dx}} [/mm] \ = \ [mm] 3*\integral{\bruch{(2x-1)}{\blue{z}^2} \ \red{\bruch{dz}{2x-1}}} [/mm] = [mm] 3*\integral{\bruch{(2x-1)}{\blue{z}^2} \ \red{\bruch{1}{(2x-1)}\ dz}}\ [/mm] = \ ...$
und die Klammer kürzt sich raus - so besser?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 20.02.2007 | | Autor: | kermit |
| Aufgabe | | Is nur die Lösung |
Dann käme laut dem als Stammfunktion raus:
[mm] -\bruch{1}{z}
[/mm]
dann resubstitutieren
[mm] -\bruch{1}{x²-x+2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Di 20.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo kermit,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja, das stimmt so - nun noch die Grenzen einsetzen, dann ist die Aufgabe gelöst.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Di 20.02.2007 | | Autor: | kermit |
gut ich danke dir für deine geduldige gute hilfe herby :)
möge morgen sich alles zum besten wenden :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 20.02.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo kermit!
Ihr habt hier aber leider noch den Faktor $3_$ vor dem Integral vergessen.
Gruß vom
Roadrunner
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