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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Do 29.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | n positive ganze Zahl. G gruppe. [mm] S_{i} \le [/mm] G und [mm] S_{i} [/mm] Normalteiler von [mm] S_{i+1}, [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] i < n.
Dann gillt, falls [mm] C_{S_{i+1}}(S_{i}) [/mm] = [mm] \{1\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow C_{S_{n}}(S_{0}) [/mm] = [mm] \{1\}. [/mm] |
Hallo!
Ich hatte überlegt eine Induktion nach n zu machen:
n=1: [mm] C_{S_{1}}(S_{0})=\{1\} [/mm] gilt also schon direkt.
I.V. die Aussage gilt für n.
n [mm] \mapsto [/mm] (n+1):
Hier hab ich jetzt einen Widerspruch versucht, aber nicht zu Ende bringen können...
Wenn [mm] |C_{S_{n+1}}(S_{0})| [/mm] > 1 ist, dann gibt es ein x [mm] \in S_{n+1}\backslash S_{n}: xgx^{-1} [/mm] = g [mm] \forall g\in S_{0}.
[/mm]
[mm] S_{n} [/mm] ist normal in [mm] S_{n+1}, [/mm] also gilt [mm] xS_{n}x^{-1}\in S_{n}, [/mm] oder [mm] xs_{n}x [/mm] = [mm] s_{n}' [/mm] und es gibt für alle [mm] s_{n}\in S_{n} [/mm] so ein [mm] s_{n}' [/mm] in [mm] S_{n}.
[/mm]
Hier weiß ich jetzt nicht, was ich damit anfangen soll.
Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben und mir sagen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin ;) ...
Vielen Dank!!
Loko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Fr 30.11.2012 | | Autor: | hippias |
Induktion ist sicher das richtige Mittel, aber auch das $3$-Untergruppen-Lemma:
Haben naemlich [mm] $[S_{0}, C_{S_{n+1}}(S_{0}), S_{1}]= [/mm] 1= [mm] [S_{1},S_{0}, C_{S_{n+1}}(S_{0})]$; [/mm] letzteres, weil [mm] $S_{0}$ [/mm] normal in [mm] $S_{1}$ [/mm] ist. Dann gilt auch [mm] $[S_{1}, C_{S_{n+1}}(S_{0}), S_{0}]= [/mm] 1$, also [mm] $[S_{1}, C_{S_{n+1}}(S_{0})]\leq C_{G}(S_{0})$. [/mm] Mache Dir nun klar, dass nach Voraussetzung sogar [mm] $[S_{1}, C_{S_{n+1}}(S_{0})]\leq C_{S_{n}}(S_{0})$ [/mm] gilt und wende zweimal die Induktionsvoraussetzung an.
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