Submultiplikativität L2-Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Sa 01.12.2012 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | Ist die [mm] $L^2$-Norm [/mm] submultiplikativ, d.h.
gilt [mm] $\parallel [/mm] uv [mm] \parallel \leq \parallel u\parallel \parallel v\parallel$ [/mm] ? |
Hallo Matheraum,
Die Aufgabe sieht einfach aus, aber ganz so trivial ist das gar nicht, zumindest nicht für mich ;)
Also wenn $u,v$ zwei [mm] $L^2$-Funktionen [/mm] sind. Hab schon gegoogelt, bin auf Minkowski-Ungleichung und Hölder-Ungleichung gestoßen. Minkowski sagt nur was über die Dreicksungleichung aus. Bei Hölder schätzt man nur die [mm] $L^1$ [/mm] Norm des Produktes ab. Aber auch Cauchy-Schwarz hat mich hier nicht weitergebracht. Es steht auch nix darüber auf der Wiki Seite der [mm] $L^p$-Räume.. [/mm] Jetzt frag ich mich, ob die Ungleichung überhaupt gilt, und warum eigentlich?
Vielen Dank schon mal und einen schönen ersten Advent.
Oby
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Hiho,
> Ist die [mm]L^2[/mm]-Norm submultiplikativ
im Allgemeinen nicht, was du recht leicht sehen kannst:
Sei u=v eine Indikatorfunktion einer beliebigen Nicht-Nullmenge A, dann gilt offensichtlich [mm] $u^2 [/mm] = u$ und damit würde gelten.
$||u|| = [mm] ||u^2|| [/mm] = ||u*u|| = ||u*v|| [mm] \le [/mm] ||u||*||v|| = ||u||*||u|| = [mm] ||u||^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] ||u|| = [mm] \mu(A)$
[/mm]
d.h. jede Nicht-Nullmenge hätte automatisch ein Maß größergleich 1.
Und ich denke es ist bekannt, dass das nicht gelten muss 
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:34 Mo 03.12.2012 | | Autor: | oby |
Hallo,
Vielen Dank, das leuchtet ein... Gibt es dann ein Kriterium, wann man diese Ungleichung einsetzen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 05.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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