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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Do 22.02.2007 | | Autor: | wwwest |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen an.]
| Aufgabe | Strömungslehre - maximale Höhe einer Fontäne berechnen
Hallo,
ich habe diese Aufgabe vor einigen Tagen auf www.chemieonline gepostet, meine Aufgabe findet dort jedoch keine ernsthafte Beachtung und hoffe ihr könnt mir helfen.
Aufgabe:
Auf dem Ruinenberg oberhalb des Schlosses Sanssouci befindet sich ein offener Wasserspeicher für die Wasserversorgung des Schlosses und des Parks.
Der Boden des Wasserspeichers liegt 56m über dem Schloss und dem Park.
1. Welcher Wasserdruck stand Friedrich II. bei einem Energieverlust von 50 Prozent durch Rohreibung im Schloss zur Verfügung?
2. 15 Prozent der Gesamtenergie stehen für den Betrieb der großen Fontäne im Park zur Verfügung. Mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus der Düse der Fontäne, wenn sich dort die runde Rohrleitung d = 8 cm auf d = 3 cm verjüngt?
3. Welche maximale Höhe erreicht das Wasser, wenn die große Fontäne in Betrieb ist?
Die Reibungsverluste sollen nicht berücksichtigt werden und wir gehen davon aus, dass sich der Behälter niemals entleeren kann, weil der Behälter in unserer Annahme unendlich groß ist. |
h = 56 m
g = 9,81 [mm] \bruch{m}{s²}
[/mm]
[mm] \rho_{Wasser} [/mm] = 1000 [mm] \bruch{kg}{m³}
[/mm]
[mm] p_{stat} [/mm] = [mm] \rho \* [/mm] g [mm] \* [/mm] h
[mm] p_{stat} [/mm] = 549360 [mm] \bruch{N}{m²}
[/mm]
[mm] \eta [/mm] = [mm] \bruch{p_{ab}}{p_{zu}}
[/mm]
[mm] \eta [/mm] = [mm] \bruch{p_{Schloss}}{p_{stat.}}
[/mm]
umgestellt:
[mm] p_{Schloss} [/mm] = [mm] p_{stat.} [/mm] * eta
[mm] p_{Schloss} [/mm] = 549360 N/m² * 0,5
Ergebnis zu 1.): Druck,Schloss = 274680 N/m²
Strömungsgeschwindigkeit in der Rohrleitung: [mm] v_{1}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{ 2 * g * h }
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{( 2 * 9,81 \bruch{m}{s²} * 56 m)}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = 33,15 [mm] \bruch{m}{s}
[/mm]
zu 2.)
[mm] p_{15%} [/mm] = [mm] p_{Gesamt} \* \eta
[/mm]
[mm] p_{15%} [/mm] = 549360 [mm] \bruch{N}{m²} \* [/mm] 0,15
[mm] p_{15%} [/mm] = 82404 [mm] \bruch{N}{m²}
[/mm]
Strömungsgeschwindigkeit in der Düse ( verengt ): [mm] v_{2}
[/mm]
[mm] A_{1} \* v_{1} [/mm] = [mm] A_{2} \* v_{2}
[/mm]
umgestellt:
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \bruch{(A_{1} \* v_{1})}{A_{2}}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \bruch{d_{1}}{d_{2}})² [/mm] * v,1
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] (\bruch{0,08 m}{0,03 m})² [/mm] * 33,15 [mm] \bruch{m}{s}
[/mm]
Ergebnis zu 2.) [mm] v_{2} [/mm] = 235,733333 [mm] \bruch{m}{s}
[/mm]
- dieser Wert erscheint mir sehr hoch, weil er erheblich Einfluss auf den Druck p,2 ausübt.
Ist dieser wert richtig?
Energieerhaltungssatz:
1/rho [mm] \* [/mm] m [mm] \* p_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \* [/mm] m [mm] \* v_{1}² [/mm] =
umgestellt:
[mm] p_{2} [/mm] = p,1 + rho/2 * v,1² - rho/2 * [mm] v_{2}²
[/mm]
[mm] p_{2} [/mm] = p,1 + rho/2 * ( v,1² - v,2² )
[mm] p_{2} [/mm] = 82404 kg * m /(m² * s²) + 1000 kg / 2 m³ * ............
[mm] p_{2} [/mm] = 82404 kg * m /(m² * s²) + 1000 kg / 2 m³ * ............
[mm] p_{2} [/mm] = 82404 kg * m /(m² * s²) - 27235641 kg * m / (m² * s²)
[mm] p_{2} [/mm] = - 27153237 kg * m / (m² * s²)
- dieses Ergebnis macht mir Sorgen!
Wie kann ich jetzt die maximale Höhe der Fontäne berechnen?
Ich bitte höflichst um engagierte Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:45 Do 22.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fuer mich ist die Frage so nicht loesbar.
1. Energieverlust ist nicht Druckverlust. Solange nix stroemt, ist der Druck im Schloss=Druck weit weg.
das zu den 50% Energieverlust.
es koennte so gemeint sein, dass die kinetische Energie die das Wasser beim Schloss noch hat 50% der Energie ist die es ohne Rohrleitung hat. Energie =Druck*Querschnitt*Weg.
gibt es da bei euch noch irgendwelcher Vereinbarungen ?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Do 22.02.2007 | | Autor: | wwwest |
Hallo leduart,
zur Aufgabe habe ich momentan leider keine weiteren Angaben.
ich möchte gern erfahren, ob die Tendenz ( Richtung ) meiner Rechnungsweise einen Sinn ergibt, ( in irgendeiner Weise ).
Deinen Hinweis zur Energie:
E = p [mm] \* [/mm] A [mm] \* [/mm] l
kann ich leider nicht sinnvoll unterbringen, kannst du mir dazu etwas mehr berichten?
Mit freundlichen Grüßen
Frank
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Wie kann ich jetzt die maximale Höhe der Fontäne berechnen?
[mm] h=v*t-0,5g*t^2
[/mm]
t=v/g
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Fr 23.02.2007 | | Autor: | wwwest |
Hallo Moritz88,
zunächst vielen Dank für deinen Beitrag,
aber wie kommst du auf diese Gleichung?
$ [mm] h=v\cdot{}t-0,5g\cdot{}t^2 [/mm] $
Kannst du mir dazu eine Herleitung beschreiben?
$ [mm] t_{1}=\bruch{v}{g} [/mm] $
$ [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{v_A,1}{g} [/mm] $
$ [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{33,15 \bruch{m}{s}}{9,81 \bruch{m}{s^2}} [/mm] $
$ [mm] t_{1} [/mm] = 3,38 s $
zunächst vielen Dank für deinen Beitrag,
aber wie kommst du auf diese Gleichung?
$ [mm] h=v\cdot{}t-0,5g\cdot{}t^2 [/mm] $
Kannst du mir dazu eine Herleitung beschreiben?
$ [mm] t_{2} [/mm] = [mm] \bruch{v}{g} [/mm] $
$ [mm] t_{2} [/mm] = [mm] \bruch{v_A,2}{g} [/mm] $
$ [mm] t_{2} [/mm] = [mm] \bruch{235,7333 \bruch{m}{s}}{9,81 \bruch{m}{s^2}} [/mm] $
$ [mm] t_{2} [/mm] = 24,03 s $
$ [mm] h_{1} =v\cdot{}t-0,5g\cdot{}t^2 [/mm] $
$ [mm] h_{1} [/mm] = 33,15 [mm] \bruch{m}{s}\cdot{} [/mm] 3,38 s - 0,5 [mm] \cdot [/mm] 9,81 [mm] \bruch{m}{s^2} \cdot{}3,38^2 s^2 [/mm] $
$ [mm] h_{1} [/mm] = 56,007 m $
$ [mm] h_{2} =v\cdot{}t-0,5g\cdot{}t^2 [/mm] $
$ [mm] h_{2} [/mm] =235,7333 [mm] \bruch{m}{s}\cdot{} [/mm] 24,03 s - 0,5 [mm] \cdot [/mm] 9,81 [mm] \bruch{m}{s^2} \cdot{}24,03^2 s^2 [/mm] $
$ [mm] h_{2} [/mm] = 2832,29 m $
Es macht vermutlich nur dann Sinn mit deiner Gleichung zu rechnen,
wenn mit der Austrittsgeschwindigkeit $ [mm] v_{A,2} [/mm] $ gerechnet wird.
Die errechneten Ergebnisse meinen etwas anderes!
Dennoch habe ich den Eindruck auf dem richtigen weg zu sein.
Mit freundlichen Grüßen
wwwest
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo wwwest!
Bei der o.g. Formel handelt es sich um die formel für den senkrechten Wurf (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier).
Dabei wird die nach oben gerichtete gleichförmige Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit [mm] $v_0$ [/mm] überlagert mit der nach unten gerichteten (und damit der Schwerkraft entsprechenden) gleichmäßig beschleunigten Bewegung:
nach oben: [mm] $s_{\text{oben}} [/mm] \ = \ [mm] h_1 [/mm] \ = \ [mm] v_0*t$
[/mm]
nach unten: [mm] $s_{\text{unten}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a*t^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*t^2$
[/mm]
Durch das Minuszeichen bei der Überlagerung wird die entgegengesetzte Wirkung beider Bewegungen berücksichtigt:
$h(t) \ = \ [mm] s_{\text{oben}} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] s_{\text{unten}} [/mm] \ = \ [mm] v_0*t-\bruch{1}{2}*g*t^2$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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