Streifenmethode des Archimedes < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Ich hab mal ne Frage zur Flächenberechnung des Archimedes.
Unzwar wenn man die Parabel [mm] x^{2} [/mm] hat auf dem Intervall von [0;1].
Man will jetzt die Fläche unter dem Parabelstück berechnen.
Dazu hatten wir das Rechteck in 4 Teile unterteilt.Ein Stück hat auf der x-Achse immer die länge von [mm] \bruch{1}{4}.
[/mm]
Wir sollten jetzt Ober-und Untersumme berechnen und hatten dann folgende Formeln gekriegt:
[mm] untersumme=\summe_{k=1}^{4} \bruch{1}{4}*f(x_{k-1}
[/mm]
[mm] Obersumme=\summe_{k=1}^{4} (x_{k}-x_{k-1})*f(x_{k})
[/mm]
was ich nicht verstehe ist,warum bei beiden [mm] x_{k-1} [/mm] steht.Warumm denn diese -1???
lg
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:45 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok
danke jetzt hab ich's verstanden ^^
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> Hallo^^
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> Ich hab mal ne Frage zur Flächenberechnung des Archimedes.
> Unzwar wenn man die Parabel [mm]x^{2}[/mm] hat auf dem Intervall
> von [0;1].
> Man will jetzt die Fläche unter dem Parabelstück
> berechnen.
> Dazu hatten wir das Rechteck in 4 Teile unterteilt.Ein
> Stück hat auf der x-Achse immer die länge von
> [mm]\bruch{1}{4}.[/mm]
> Wir sollten jetzt Ober-und Untersumme berechnen und hatten
> dann folgende Formeln gekriegt:
>
> [mm]untersumme=\summe_{k=1}^{4} \bruch{1}{4}*f(x_{k-1}[/mm]
>
> [mm]Obersumme=\summe_{k=1}^{4} (x_{k}-x_{k-1})*f(x_{k})[/mm]
>
> was ich nicht verstehe ist,warum bei beiden [mm]x_{k-1}[/mm]
> steht.Warumm denn diese -1???
Hallo,
Du hast die x-Achse zwischen 0 und 1 in 4 gleiche Stücke geteilt, die alle die Länge [mm] \bruch{1}{4} [/mm] haben.
Wir benennen jetzt mal die Anfangs- bzw. Endpunkte der kleinen Abschnitte auf der x-Achse:
[mm] x_0=0
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{2}{4}
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] x_4=\bruch{4}{4}
[/mm]
Die Untersumme bekommst Du ja, wenn Du die Flächeninhalte der "Unterstreifen" addierst:
Der erste Streifen ist [mm] \bruch{1}{4} [/mm] breit und [mm] 0^2 [/mm] hoch, [mm] =(x_1-x_0)*f(x_0).
[/mm]
Der zweite Streifen ist [mm] \bruch{1}{4} [/mm] breit und [mm] (\bruch{1}{4})^2 [/mm] hoch, [mm] =(x_2-x_1)*f(x_1).
[/mm]
Der drittete Streifen ist [mm] \bruch{1}{4} [/mm] breit und [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] hoch, [mm] =(x_3-x_2)*f(x_2).
[/mm]
Der viierte Streifen ist [mm] \bruch{1}{4} [/mm] breit und [mm] (\bruch{3}{4})^2 [/mm] hoch, [mm] =(x_4-x_3)*f(x_3).
[/mm]
Aufsummiert bekommst man
Untersumme = [mm] (x_1-x_0)*f(x_0) [/mm] + [mm] (x_2-x_1)*f(x_1)+(x_3-x_2)*f(x_2)+(x_4-x_3)*f(x_3)= \summe_{k=1}^{4}\underbrace{(x_k-x_{k-1})}_{=\bruch{1}{4}}*f(x_{k-1})
[/mm]
Du könntest mit der Summation aber auch bei 0 beginnen, dann hättest Du Untersumme= [mm] \summe_{k=0}^{3}(x_{k+1}-x_k)*f(x_{k})
[/mm]
Entscheident ist: Du nimmst jeweils die Breite der Teilintervalle und multiplizierst sie mit dem Funktionswert des Anfangspunktes.
Für die Obersumme multiplizierst Du dann die Intervallbreite mit dem Funktionswert des Endpunktes des Teilintervalls, deshalb hast Du hier [mm] Obersumme=\summe_{k=1}^{4} (x_{k}-x_{k-1})*f(x_{\red{k}})
[/mm]
Gruß v. Angela
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