Stoppzeit unfaires Roulette < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mi 27.11.2013 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Sie spielen faires Roulette ohne Null, setzen immer auf Rot und verdoppeln nacheinander den Einsatz. Die Spielausgänge entsprechen unabhängigen Zufallsvariablen [mm] X_{1}, [/mm] ... und sei [mm] X_{i} [/mm] = 1, falls beim i-ten Durchgang Rot erscheint, und [mm] X_{i} [/mm] = -1, falls der i-te Durchgang Schwarz ergibt. Die Filtration sei gegeben durch [mm] F_{n} [/mm] = [mm] \Sigma(X_{1},...,X_{n}). [/mm] Sie starten mit einem Einsatz von 1 und erhalten daher nach dem n-ten Spiel die Auszahlung [mm] 2^{n-1}X_{n}, [/mm] so dass [mm] M_{n}= \summe_{i=1}^{n}2^{i-1}X_{i} [/mm] den Gewinnstand nach dem n-ten Spiel angibt. Sie beenden das Spiel,wenn das erste Mal Rot erscheint,also zur (Stopp-)Zeit [mm] \tau [/mm] = inf{n: [mm] X_{n} [/mm] = 1}. Zeigen Sie:
[mm] P(\tau [/mm] = [mm] +\infty) [/mm] = 0 (damit ist die ZV [mm] M_{\tau} [/mm] wohldefiniert) und [mm] M_{\tau} [/mm] = 1. Bestimmen Sie im nichtfairen Fall
[mm] P(X_{i} [/mm] = 1) = p = [mm] 1-P(X_{i} [/mm] = -1)
den Term [mm] E[M_{\tau\wedge{n}}] [/mm] und geben sie [mm] E[M_{\tau\wedge{n}}] [/mm] für die konkreten Werte p = 18/38 und n = 15 an. |
Hallo Mathefreunde,
oben geht's um ein recht bekanntes Spiel/Martingal. Ich habe gerade meine Probleme das mathematisch zu formulieren. Mir fehlt die Idee für die Verteilung der Taus.
Ich wollte erstmal Ereignisse für den Erwartungswert aufsummieren. Einfacher Fall für n=2.
[mm] E[M_{\tau\wedge{2}}] [/mm] =
[mm] M_{1}*p [/mm] (Rot erscheint beim ersten mal) +
[mm] M_{2}*p*(1-p) [/mm] (Rot erscheint beim zweiten Wurf)+
[mm] (-M_{2}*(1-p)^2) [/mm] (Nach zwei Würfen kein Rot, totaler Verlust)
Sollte [mm] \tau [/mm] innerhalb der 2 Versuche also liegen, ist der Wert für die [mm] M_{i} [/mm] natürlich 1. Wenn nicht, ist der Wert halt (-1-2*1 = -3).
Bin mir auch hier bei den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse unsicher, hab auch irgendwo gelesen,dass die Verteilung der Stoppzeit geometrisch ist, sehe auch einigermaßen den zusammenhang, aber nicht rechnerisch, wie ich drauf kommen würde? Könnt ihr mir hierbei helfen?
Mein Übungsleiter gab mir den Tipp [mm] \Omega [/mm] zu partitionieren ... was sind erstmal hier die [mm] \omega [/mm] s? Nicht die einzelnen [mm] X_{i} [/mm] sondern die [mm] M_{i} [/mm] richtig?
Sein Tipp war:
[mm] \Omega [/mm] = [mm] {A}\Cup{A^c} [/mm] => E(X) = [mm] E(1_{A}X) [/mm] + [mm] E(1_{A^c}X) [/mm] (Hier ist mit 1 die Indikatorfunktion gemeint) ... Idee für A?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Do 28.11.2013 | | Autor: | dimi727 |
Niemand Interesse zu helfen? :( Was denn los hier?
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Hiho,
ich vermute mal, die a) hast du bereits gelöst, deinen Fragen nach zu Urteilen.
> Bin mir auch hier bei den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse unsicher, hab auch irgendwo gelesen,dass die Verteilung der Stoppzeit geometrisch ist, sehe auch einigermaßen den zusammenhang, aber nicht rechnerisch, wie ich drauf kommen würde? Könnt ihr mir hierbei helfen?
Na überlege dir doch mal, was für die [mm] X_i [/mm] gelten muss, wenn [mm] $\tau [/mm] = n$ gilt.
Berechne so [mm] $P(\tau [/mm] = n)$ und du hast deine Verteilung.
Weiterhin gilt: [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{\tau \le n\} \cup \{\tau > n\}$ [/mm] und mach dir klar, dass das Ereignis [mm] $\{\tau > n\}$ [/mm] unabhängig ist von allen [mm] $X_i$ [/mm] mit [mm] $i\le [/mm] n$.
Gruß,
Gono.
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