Stochastische Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 06.11.2007 | | Autor: | VerenaBl |
| Aufgabe | Bei der Fabrikation von Komponenten eines Systems entsteht im Durchschnitt 20% Ausschuss. Ein
Prüfverfahren kann mit Wahrscheinlichkeit 0.95 ein fehlerhaftes Stück ausscheiden, scheidet aber
mit Wahrscheinlichkeit 0.02 auch ein fehlerfreies Stück aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Komponente, die den Test passiert hat, trotzdem fehlerhaft ist? |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher wie ich dies rechnen muss, aber es mal versucht, aber diese Lösung ist mir eigentlich zu einfach:
Also die Wahrscheinlichkeit beträgt: (1-0,95)*(1-0,02) [mm] \approx [/mm] 0,049
Ist das so korrekt? Wenn nicht kann mir jemand verraten wie ich die Aufgabe angehen muss und mit welcher Formel? Komme da nie drauf :( Danke schon mal
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Du musst dir das als zweistufig denken: Erstmal muss die Komponente fehlerhaft sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 0,2. Dann muss der Test sie trotzdem durchlassen. Das passiert mit der Wahrscheinlichkeit (1 - 0,95), also 0,05. Beides muss in diesem Fall eintreffen. Da wir davon ausgehen, dass beides unabhängig ist, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit durch schlichtes Multiplizieren, also 0,2*0,05=0,01.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 06.11.2007 | | Autor: | VerenaBl |
Hi,danke für deine super schnelle Antwort. Echt lieb.
Ich habe aber mal zwei Fragen:
Wieso kann man denn davon ausgehen,dass beide unabhängig sind? Und kann ich das irgendwie noch mathematischer also mit Formeln aufschreiben?Wüsste nämlich nicht wie. Finde dazu nichts im Buch :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 06.11.2007 | | Autor: | mg07 |
Hmm, genauso wie mein Vorredner schrieb, ist es. Ich schreibe dir mal auf, welche Möglichkeiten es alle gibt. Vllt. wird es dir dadurch deutlich:
Fehlerhafte Komponente wird als fehlerhaft verworfen:
0,2 (20%) * 0,95 (95%)
Fehlerhafte Komponente passiert den Test:
0,2 (20%) * 0,05 (100% - 95%)
Fehlerfreie Komponente wird als fehlerhaft verworfen:
0,8 (100% - 20%) * 0,02 (2%)
Fehlerfreie Komponente passiert den Test:
0,8 (100% - 20%) * 0,98 (100% - 2%)
Der 2. Fall wär dann deiner aus der Aufgabe.
Unabhängig ja deswegen, weil du erstmal von einer fehlerfreien oder fehlerhaften Komponente ausgehst. Die Wahrscheinlichkeit ist ja bekannt.
20% für fehlerhaft und 80% für fehlerfrei. Weiter weisst du, wie genau der Test beim Ausscheiden fehlerhafter und fehlerfreier Komponenten ist. Nun musst du dir eben diese beiden Eigenschaften zunutze machen und sie miteinander multiplizieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 06.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Verena,
bezeichne mit $A$ das Ereignis, dass eine Stueck Ausschuss ist und $F$
das Ereignis, dass ein Stueck als fehlerhaft ausgeschieden wird. Der
Aufgabe entnimmt man die folgenden Wahrscheinlichkeiten: $P(A)=0.2$,
[mm] $P(F\mid [/mm] A)=0.95$, [mm] $P(F\mid \overline{A})=0.02$. [/mm] (Achtung: Formeln, hurra!).
Gehe nun analog zu meiner Antwort in
https://matheraum.de/read?t=312174
vor.
lg
Luis
PS: Dass du nichts in deinem Buch kann ich mir nur so erklaeren: Entweder
du liest kein Buch zur Statistik oder du schwindelst 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 06.11.2007 | | Autor: | VerenaBl |
Hi Luis,
also ich lese wohl ein Buch. Es heißt Stochastik für Einsteiger und da finde ich dies definitiv nicht.
Die Wahrscheinlichkeitstabelle kann ich irgendwie nicht auf meine Aufgabe anwenden, da ich ja nur drei Werte habe. Kannst du mir vielleicht die Tabelle geben,damit ich das versuchen kann auszurechnen ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 07.11.2007 | | Autor: | VerenaBl |
Danke für die Antwort. Ja genau das ist das Buch ist es und in den Kapitel habe ich aber nichts gefunden womit ich die Aufgabe schaffen könnte. Vielleicht liegt es auch nur daran, dass ich es nicht ganz verstanden habe.
Ich verstehe nur dabei einfach nicht wie ich das mit dem P(A) usw machen muss. das verstehe ich auch nicht im Buch. Wie es oben gemacht wurde mit den Aussagen(also: Fehlerhafte Komponente wird als fehlerhaft verworfen usw.) verstehe ich, aber wie ich du das gemacht hast verstehe ich nicht ganz und weiß nicht wie ich das wirklich da anwenden kann und wieso du gerade das genommen hast :( Kannst du mir das wohl mal erklären
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mi 07.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Verena,
ich bin etwas ratlos, da ich nicht weiss, wo ich anfangen soll. Ich fuerchte,
da beisse ich mir die Zaehne aus, da bei dir anscheinend die Grundlagen gaenzlich fehlen.
Vielleicht uebernimmt ja mal jemand anderes, sorry.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 07.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hallo,
habe bei der Aufgabe was ganz anderes raus finde aber den Fehler nicht vielleicht kann mir dabei jemand behilflich sein ?
Sei
B1="Alle Defekten Komponenten"
B2="Alle funktionierenden Komponenten"
A= "Alle als Defekt erkannten Komponenten"
Aus der Aufgabe ergibt sich :
[mm]P[B_1]=0.2[/mm]
[mm]P[B_2]=0.8[/mm]
[mm]P[A|B_1] = 0.95[/mm]
[mm]P[A|B_2] = 0.02[/mm]
Nun ist gesucht : [mm]P[B_2|A][/mm] also die Wahrscheinlichkeit das eine funktionierende Komponente als Defekt getestet wurde.
Mit der Formel von Bayes ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
[mm]P[B_2|A]=\bruch {P[A|B_2]P[B_2]}{P[A|B_2]P[B_2] + P[A|B_1]P[B_1]} = \bruch {8}{103} = 0.07766990291[/mm]
Verstehe einfach nicht wo mein Fehler ist wenn das obrige richtig ist :((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Do 08.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marc,
> Mit der Formel von Bayes ergibt sich für die gesuchte
> Wahrscheinlichkeit:
>
> [mm]P[B_2|A]=\bruch {P[A|B_2]P[B_2]}{P[A|B_2]P[B_2] + P[A|B_1]P[B_1]} = \bruch {8}{103} = 0.07766990291[/mm]
>
Dein Bruch 8/103 ist nicht nachvollziehbar.
lg Luis
PS: Es ist der Diskusssion nicht foerderlich, wenn du von einer
einmal eigefuehrten Notation abweichst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 08.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hallo nochmal stimmt, da habe ich mich wohl verrechnet. Ich probiere es nochmal dieses mal mit der eingeführten Notation.
Hier also nochmal mit der eingeführten Notation:
[mm]P[A]=0.2[/mm] Zu 20% ist eine Komponente Aussschuss
[mm]P[\overline{A}] = 0.8[/mm] Zu 80% ist sie funktionstüchtig
[mm]P[F|A]=0.95[/mm] Zu 95% erkennt der Test eine defekte Komponente
[mm]P[F|\overline{A}]=0.02[/mm] Zu 2% wird eine funktionstüchtige Komponente als Defekt getestet.
Gesucht ist : [mm]P[A|\overline{F}][/mm] also der Test sagt Kaputt aber trotzdem ist es eine funktionstüchtige Komponente.
Nach Bayes ist:
[mm]P[A|\overline{F}] = \bruch{P[\overline{F}|A]\cdot P[A]}{P[\overline{F}|A]\cdot P[A] + P[\overline{F}|\overline{A}] \cdot P[\overline{A}][/mm]
und mit
[mm]P[\overline{F}|A] = 0.05 (1 - 0.95)[/mm]
[mm]P[\overline{F}|\overline{A}] = 0.98 [/mm]
ergibt sich so :
[mm]\bruch{0.05 \cdot 0.2}{0.05 \cdot 0.2 + 0.98 \cdot 0.8} = \bruch{\bruch{1}{100}}{\bruch{1}{100}+\bruch{98}{125}}=\bruch{5}{397} =0.0125[/mm]
Ich versteh einfach nicht was ich daran falsch mache maeh :((
Gruß
marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Do 08.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Oben habe ich etwas falsch ausgedrückt es soll heißen :
Gesucht ist : $ [mm] P[A|\overline{F}] [/mm] $ also der Test sagt funktionstüchtig aber trotzdem ist es eine fehlerhaft Komponente.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 08.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marco,
> und mit
>
> [mm]P[\overline{F}|A] = 0.05 (1 - 0.95)[/mm]
>
> [mm]P[\overline{F}|\overline{A}] = 0.98[/mm]
>
Was sind denn das fuer kuehne Regeln! Kenne ich gar nicht.
Bitte um Aufklaerung. Bedenke [mm] $P[\overline{F}|A]=P[\overline{F}\cap [/mm] A]/P[A] $. Wie passt da deine Formel hinein?
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 08.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hmm ja da scheine ich doch etwas arg falsch zu haben. Für mich wird leider nicht klar wie ich die benötigten Wahrscheinlichkeiten erhalte, da so doch recht merkwürdige sachen herauskommen.
Mein Versuch :
[mm]P[\overline{F}|A] = \bruch{P[\overline{F}\cap A]}{P[A]} =\bruch {1-0.95}{0.2}= 0.25[/mm]
Nach Aufgabe erkennt ja der Test mit 0.95 ein fehlerhaftes Stück also erkennt es dies mit 0.05 nicht. Dies steht im Zähler
Für [mm]P[\overline{F}|\overline{A}] = \bruch {P[\overline{F}\cap \overline{A}}{P[\overline{A}]}=\bruch{1-0.02}{0.8}= 1.225[/mm]
und das kann doch irgendwie nicht sein oder ?
Verstehe immer noch nicht was daran falsch ist :(
Könntest du mir vielleicht einmal zeigen wie ich den 2ten Schnitt berechne ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Do 08.11.2007 | | Autor: | luis52 |
$ [mm] P[\overline{F}|A] [/mm] = [mm] \bruch{P[\overline{F}\cap A]}{P[A]} =\bruch [/mm] {1-0.95}{0.2}= 0.25 $
Die zweite Gleichung ist falsch. Ausserdem beschreibt [mm] $\overline{F}\cap [/mm] A$ das Ereignis, dass
ein Werkstueck defekt ist und es vom Test nicht als fehlerhaft ausgeschieden wird. Das hat dem von dir beschriebenen Ereignis nichts zu tun.
Was hast du gegen meine Tabelle? Aus der kannst du schnell die notwendigen Bestandteile fuer den Satz von Bayes bestimmen.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 08.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Deine Tabelle find ich spitze aber ich möchte einfach mit dieser Formel auf das selbe Ergebnis kommen :(
Ich vermute einfach mal das die Fragestellerin auch aus Münster kommt da es exakt die selbe Aufgabe ist und wir haben im Skript eine ähnliche Aufgabe gerechnet bei der es um eine Krankheit ging und ein Test der sie erkennt usw...
Allerding konnte man da alles aus dem Text ablesen und hier irgendwie nicht und langsam verzweifel ich daran da ich die im Post vorher erwähnten Schnitte einfach nicht rechnerisch bestimmen kann.
Nach Aufgabentext:
Der Test scheidet ein Fehlerhaftes Stück mit Wkeit von 0.95 aus.
Da lese ich aber auch raus, dass zu 0.05 ein defektes Stück eben nicht als defekt erkannt wird! [mm]P[\overline{F}\cap A][/mm]
Wo mache ich da den Denkfehler und wie errechne ich dies damit ich auf die selben Werte komme wie in deiner Tabelle ?
Gruß
Marc(ohne o  )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 08.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Nach Aufgabentext:
>
> Der Test scheidet ein Fehlerhaftes Stück mit Wkeit von 0.95
> aus.
>
> Da lese ich aber auch raus, dass zu 0.05 ein defektes Stück
> eben nicht als defekt erkannt wird! [mm]P[\overline{F}\cap A][/mm]
>
Stimmt nicht. Aus [mm] $P(\overline{F}\mid [/mm] A)=0.95$ folgt [mm] $P(F\mid [/mm] A)=0.05$:
Die Wsk, dass ein defektes Stueck vom Test als fehlerhaft
ausgeschieden wird, ist 0.05.
>
> Gruß
> Marc(ohne o )
Entschuldigung. Will mich bessern.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 08.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Das wäre dann aber ein sehr schlechter und überflüssiger Test wenn dem so wäre
"Aus [mm] P(\overline{F}\mid A)=0.95 [/mm] folgt [mm] P(F\mid A)=0.05 [/mm]:
Die Wsk, dass ein defektes Stueck vom Test als fehlerhaft
ausgeschieden wird, ist 0.05. "
Es ist doch genau anders herum also so wie ich es geschrieben habe oder ?
Der Text sagt doch ein defektes Stück wird vom Test mit Wkeit von 0.95 erkannt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Do 08.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Das wäre dann aber ein sehr schlechter und überflüssiger
> Test wenn dem so wäre
>
> "Aus [mm]P(\overline{F}\mid A)=0.95[/mm] folgt [mm]P(F\mid A)=0.05 [/mm]:
>
> Die Wsk, dass ein defektes Stueck vom Test als fehlerhaft
> ausgeschieden wird, ist 0.05. "
>
> Es ist doch genau anders herum also so wie ich es
> geschrieben habe oder ?
> Der Text sagt doch ein defektes Stück wird vom Test mit
> Wkeit von 0.95 erkannt.
... und mit der Wsk 0.05 nicht erkannt.
Bin schon ganz kirre.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 08.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja jetzt weiß ich auch nicht mehr wo vorne und hinten ist es bleibt bei der Frage wenn folgendes falsch ist wie mache ich es richtig ?
Nach Bayes ist:
$ P[A|\overline{F}] = \bruch{P[\overline{F}|A]\cdot P[A]}{P[\overline{F}|A]\cdot P[A] + P[\overline{F}|\overline{A}] \cdot P[\overline{A}] $
und mit
$ P[\overline{F}|A] = 0.05 (1 - 0.95) $
$ P[\overline{F}|\overline{A}] = 0.98 $
ergibt sich so :
$ \bruch{0.05 \cdot 0.2}{0.05 \cdot 0.2 + 0.98 \cdot 0.8} = \bruch{\bruch{1}{100}}{\bruch{1}{100}+\bruch{98}{125}}=\bruch{5}{397} =0.0125 $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Fr 09.11.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> und mit
>
> [mm]P[\overline{F}|A] = 0.05 (1 - 0.95)[/mm]
>
> [mm]P[\overline{F}|\overline{A}] = 0.98[/mm]
Du bist aber hartnaeckig! Wir waren uns doch schon einig darueber,
dass gilt [mm] $P[\overline{F}|A] [/mm] = 0.05$ !
>
> ergibt sich so :
>
> [mm]\bruch{0.05 \cdot 0.2}{0.05 \cdot 0.2 + 0.98 \cdot 0.8} = \bruch{\bruch{1}{100}}{\bruch{1}{100}+\bruch{98}{125}}=\bruch{5}{397} =0.0125[/mm]
>
Aber dein Ergebnis ist richtig! Hurra!
lg Luis
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http://www.emis.de/journals/ZDM/zdm981r2.pdf